Exercice 29, § 6

a) Soit G un groupe topologique localement compact. L’algèbre de Banach $L^1(G)$ a une identité approchée. (Utiliser INT, VIII, § 2, n$^o7$, lemme 4). b) Soit A une algèbre de Banach admettant une identitée approchée. Pour tout caractère $\chi \in \mathsf{X}(A)$, on a $\|\chi \|= 1$.

c) La sous-algèbre de Banach de $L^1(\mathbf{Z})$ formée des suites $(x_n)$ telles que $x_n= 0$ si $n <0$ n’a pas d’unité approchée. (Construire un caractère non nul de norme $<1$.)

d) Soient G le groupe libre engendré par deux éléments $a$ et $b$ et $\mu$ une mesure de Haar sur G. Soit I l’idéal fermé de $L^1(G)$ formé des $f\in L^1(G)$ tels que $\mu(f) = 0$. Soit $\xi =e^{2i\pi /3}$. Soit $x=\varepsilon_e+\xi \varepsilon_a+\xi^{-1}\varepsilon_b\in L^1(G)$. Pour tout $f\in L^1(G)$, on a $\|x*f-x\|\geqslant 1$. L’algèbre de Banach I n’a pas d’unité approchée.