Bài tập 29, § 6

a) Cho $G$ là một nhóm tôpô compact địa phương. Chứng minh rằng đại số Banach $L^1(G)$ có một đơn vị xấp xỉ. (Dùng INT, VIII, § 2, n$^o7$, Bổ đề 4). b) Cho A là một đại số Banach có một đơn vị xấp xỉ. Chứng minh rằng với mọi đặc trưng $\chi \in \mathsf{X}(A)$, ta có $\|\chi \|= 1$.

c) Chứng minh rằng đại số con Banach của $L^1(\mathbf{Z})$ gồm các dãy $(x_n)$ sao cho $x_n= 0$ nếu $n <0$ không có đơn vị xấp xỉ. (Xây dựng một đặc trưng khác không có chuẩn $<1$.)

d) Cho G là nhóm tự do sinh bởi hai phần tử $a$ và $b$ và $\mu$ là một độ đo Haar trên G. Gọi I là iđêan đóng của $L^1(G)$ gồm các $f\in L^1(G)$ sao cho $\mu(f) = 0$. Đặt $\xi =e^{2i\pi /3}$. Đặt $x=\varepsilon_e+\xi \varepsilon_a+\xi^{-1}\varepsilon_b\in L^1(G)$. Chứng minh rằng với mọi $f\in L^1(G)$, ta có $\|x*f-x\|\geqslant 1$. Suy ra đại số Banach I không có đơn vị xấp xỉ.