Exercice 3, § 6

Soit A une algèbre involutive unifère. On suppose que pour tout $x$ dans A, le spectre de $x$ ne contient pas $-1$.

a) Pour tout élément idempotent $x$ de A, montrer qu’il existe un élément idempotent hermitien $y$ de A tel que $xA =yA$. (Considérer l’inverse $z$ de $1 + (x-x^*)(x^*-x)$ ; montrer que $z$ commute avec $x$ et poser $y=xx^*z.$) b) Pour tout élément idempotent $x$ de A, montrer qu’il existe un élément idempotent hermitien $y$ de A et $u$ inversible dans A tels que $x=uyu^{-1}$. (Si $xA =yA$, poser $u= (1-(y-x))^{-1}.$)