Bài tập 3, § 6

Cho $A$ là một đại số có đơn vị với phép đối hợp. Giả sử rằng với mọi $x$ trong $A$, phổ của $x$ không chứa $-1$.

a) Với mọi phần tử lũy đẳng $x$ của $A$, bây giờ chứng minh rằng tồn tại một phần tử lũy đẳng Hermit $y$ của $A$ sao cho $xA =yA$. (Xét nghịch đảo $z$ của $1 + (x-x^*)(x^*-x)$ ; bây giờ chứng minh rằng $z$ giao hoán với $x$ và đặt $y=xx^*z.$) b) Với mọi phần tử lũy đẳng $x$ của $A$, bây giờ chứng minh rằng tồn tại một phần tử lũy đẳng Hermit $y$ của $A$ và một phần tử khả nghịch $u$ trong $A$ sao cho $x=uyu^{-1}$. (Nếu $xA =yA$, đặt $u= (1-(y-x))^{-1}.$)