Exercice 30, § 6

Soit A une algèbre de Banach ayant une unité approchée. Notons $\widetilde{A}$ l’algèbre de Banach obtenue à partir de A par adjonction d’un élément unité, noté 1.

a) Soit $x\in A$. Alors $x$ appartient à l’idéal à gauche fermé engendré par $x$. b) Pour tout $\varepsilon >0$ et toute famille finie $(x_i)_{i\in I}$ d’éléments de A, il existe $e\in A$ tel que $\|e\|\leqslant 1$ et $\|ex_i-x_i\|< \varepsilon$ pour tout $i\in I$.

c) Soient $x\in A,\varepsilon >0$ et $0< \gamma \leqslant 1/8$. Il existe $\eta >0$ tel que pour tout $e\in A$ vérifiant $\|e\|\leqslant 1$ et $\|ex-x\|< \eta$, alors $\alpha = (1-\gamma )\cdot 1+\gamma e$ est inversible dans $\widetilde{A}$ et $\|x-\alpha^{-1}x\|< \varepsilon$.

d) Soient $x\in A,\varepsilon >0,\delta >0$ et $0< \gamma \leqslant 1/8$. Il existe une suite $(e_n)_{n\geqslant 1}$ dans A ayant les propriétés suivantes :

(i) On a $\|e_n\|<2$ pour tout $n\geqslant 1$ ;

(ii) L’élément

est inversible dans $\widetilde{A}$ pour tout $n\geqslant 1$ et

(Supposant que $(e_1, . . . , e_n)$ ont été définis, considérer un élément $e_{n+1}$ quelconque de norme $<2$ ; observer que

où $e'_k= ((1-\gamma )\cdot 1 +e_{n+1})^{-1}e_k$, et déterminer $e_{n+1}$ vérifiant les conditions demandées en exploitant le fait que l’ensemble des éléments inversibles de $\widetilde{A}$ est ouvert, et que l’application $a\mapsto a^{-1}$ est continue.)

e) Pour tout $x\in A$, il existe $y$ et $z$ dans A tels que $x=yz$ (« théorème de factorisation de Cohen »). Soit $\delta >0$. On peut supposer que $z$ appartient à l’idéal à gauche fermé engendré par $x$ et que $\|y-z\|< \delta$. (Considérer une suite $(e_n)_{n\geqslant 1}$ comme ci-dessus et définir $y_n$ comme précédemment ; la suite $z_n=y_n^{-1}x$ converge vers un élément $z\in A$, et $z_n$ appartient à l’idéal à gauche fermé engendré par $x$; la suite $(y_n)$ converge vers $y\in A$ et $x=yz.$)