Bài tập 30, § 6

Cho $A$ là một đại số Banach có một phần tử đơn vị xấp xỉ. Ký hiệu bởi $\widetilde{A}$ đại số Banach thu được từ $A$ bằng phép nối một phần tử đơn vị, ký hiệu bởi 1.

a) Cho $x\in A$. Khi đó $x$ thuộc iđêan trái đóng sinh bởi $x$. b) Với mọi $\varepsilon >0$ và mọi họ hữu hạn $(x_i)_{i\in I}$ các phần tử của A, tồn tại $e\in A$ sao cho $\|e\|\leqslant 1$ và $\|ex_i-x_i\|< \varepsilon$ với mọi $i\in I$.

c) Cho $x\in A,\varepsilon >0$ và $0< \gamma \leqslant 1/8$. Tồn tại $\eta >0$ sao cho với mọi $e\in A$ thỏa mãn $\|e\|\leqslant 1$ và $\|ex-x\|< \eta$, thì $\alpha = (1-\gamma )\cdot 1+\gamma e$ khả nghịch trong $\widetilde{A}$ và $\|x-\alpha^{-1}x\|< \varepsilon$.

d) Cho $x\in A,\varepsilon >0,\delta >0$ và $0< \gamma \leqslant 1/8$. Tồn tại một dãy $(e_n)_{n\geqslant 1}$ trong A có các tính chất sau:

(i) Ta có $\|e_n\|<2$ với mọi $n\geqslant 1$ ;

(ii) Phần tử

khả nghịch trong $\widetilde{A}$ với mọi $n\geqslant 1$ và

(Giả sử rằng $(e_1, . . . , e_n)$ đã được định nghĩa, xét một phần tử tùy ý $e_{n+1}$ có chuẩn $<2$ ; nhận thấy rằng

trong đó $e'_k= ((1-\gamma )\cdot 1 +e_{n+1})^{-1}e_k$, và xác định $e_{n+1}$ thỏa mãn các điều kiện đòi hỏi bằng cách khai thác sự kiện rằng tập hợp các phần tử khả nghịch của $\widetilde{A}$ là mở, và ánh xạ $a\mapsto a^{-1}$ là liên tục.)

e) Với mọi $x\in A$, tồn tại $y$ và $z$ trong A sao cho $x=yz$ (“định lý phân tích nhân tử Cohen”). Cho $\delta >0$. Ta có thể giả sử rằng $z$ thuộc iđêan trái đóng sinh bởi $x$ và $\|y-z\|< \delta$. (Xét một dãy $(e_n)_{n\geqslant 1}$ như trên và định nghĩa $y_n$ như trước; dãy $z_n=y_n^{-1}x$ hội tụ tới một phần tử $z\in A$, và $z_n$ thuộc iđêan trái đóng sinh bởi $x$; dãy $(y_n)$ hội tụ tới $y\in A$ và $x=yz.$)