Exercice 31, § 6

Tag 02FY, permanent. Cite it as [Bourbaki, Tag 02FY].

Théories spectrales, I, p. 186

Soit A l’espace de Banach des fonctions complexes intégrables sur $[0,1]$ pour la mesure de Lebesgue. On pose

(f\cdot g)(t) =\int_0^tf(t-x)g(x)dx

pour $t\in [0,1]$ .

a) La fonction $f\cdot g$ est définie presque partout et est un élément de A.

b) Muni de l’opération $(f, g)\mapsto f\cdot g$ , l’espace A est une algèbre de Banach commutative.

c) Soit $x\in A$ la fonction constante égale à 1. La fonction $x^n$ est

t^{n-1}

t\mapsto

$(n-$ 1)!

d) L’algèbre A est topologiquement engendrée par $x$ , l’élément $x$ est quasi-nilpotent, et A est égale à son radical.

e) L’algèbre A admet une unité approchée.

f) L’algèbre A ne possède aucun idéal maximal, régulier ou non, fermé ou non (utiliser l’exercice précédent et l’exercice 1 de I, p. 166). En particulier, $\mathsf{X}(A)$ est vide, donc compact.

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