Exercice 32, § 6

Soit G un groupe. On dit que G a la propriété de Powers si, pour tout $n\in \mathbf{N}$ et tout sous-ensemble fini F de G$-\{e\}$, il existe une partition de G en deux sous-ensembles A et B et une famille $(g_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$ d’éléments de G tels que

(i) pour tout $g\in F$, les ensembles A et $gA$ sont disjoints ;

(ii) pour tous entiers distincts $j$ et $k$ compris entre 1 et $n$, les ensembles $g_jB$ et $g_kB$ sont disjoints.

Soit G un groupe possédant la propriété de Powers. Soit I un idéal bilatère fermé non nul de l’algèbre stellaire réduite Stell$_r(G)$ (exercice 25). Soit $\pi :\mathbf{C}[G]\rightarrow$ Stell$_r(G)$ la représentation canonique.

a) Il existe une famille $(\lambda_g)_{g\in G-\{e\}}$ dans $\mathbf{C}$ telle que

est un élément hermitien de Stell$_r(G)$ tel que $y= 1 +x$ appartient à I. b) Soit $\varepsilon >0$ tel que $\varepsilon <1$. Il existe un sous-ensemble fini F de G$-\{e\}$ et un entier $n\geqslant 1$ tels que l’élément

$\surd$

vérifie $\|x'-x\|< \varepsilon$ et $\|x'\|<_2^n(1-\varepsilon )$.

c) Soient $G = A\cup B$ et $(g_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$ vérifiant les conditions de la propriété de Powers pour le sous-ensemble fini F et l’entier $n$. Posons

$'$ 1 $n'-1$

$y$ = $\sum\pi (g_i)x\pi (g_i)$.

$i=1$

On a $\|y'\|<1-\varepsilon$. (Soit $p_i$ la projection orthogonale de $\ell^2(G)$ sur $\ell^2(g_iB)$ ; vérifier que

pour $1\leqslant i\leqslant n$, et en déduire que

$i=1i=1$

puis noter que les endomorphismes $p_i\pi (g_i)x'\pi (g_i^{-1})$ ont des images deux à deux orthogonales pour estimer leurs normes.)

d) L’idéal I contient l’élément

1 $^n-_1$

1 + $\sum\pi (g_i)x\pi (g_i)$,

$i=1$

et cet élément est inversible. Par conséquent, l’algèbre stellaire Stell$_r(G)$ ne contient pas d’idéal bilatère fermé distinct de $\{0\}$ et de Stell$_r(G)$.

e) Soit G un groupe libre non commutatif. Alors G a la propriété de Powers.