Bài tập 32, § 6

Cho G là một nhóm. Ta nói rằng G có tính chất Powers nếu, với mọi $n\in \mathbf{N}$ và mọi tập con hữu hạn F của G$-\{e\}$, tồn tại một phân hoạch của G thành hai tập con A và B và một họ $(g_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$ các phần tử của G sao cho

(i) với mọi $g\in F$, các tập hợp A và $gA$ rời nhau ;

(ii) với mọi các số nguyên phân biệt $j$ và $k$ giữa 1 và $n$, các tập hợp $g_jB$ và $g_kB$ rời nhau.

Cho G là một nhóm có tính chất Powers. Cho I là một iđêan hai phía đóng khác không của đại số stellar thu gọn Stell$_r(G)$ (bài tập 25). Cho $\pi :\mathbf{C}[G]\rightarrow$ Stell$_r(G)$ là biểu diễn chính tắc.

a) Tồn tại một họ $(\lambda_g)_{g\in G-\{e\}}$ trong $\mathbf{C}$ sao cho

là một phần tử Hermit của Stell$_r(G)$ sao cho $y= 1 +x$ thuộc I. b) Cho $\varepsilon >0$ sao cho $\varepsilon <1$. Tồn tại một tập con hữu hạn F của G$-\{e\}$ và một số nguyên $n\geqslant 1$ sao cho phần tử

$\surd$

thỏa mãn $\|x'-x\|< \varepsilon$ và $\|x'\|<_2^n(1-\varepsilon )$.

c) Cho $G = A\cup B$ và $(g_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$ thỏa mãn các điều kiện của tính chất Powers đối với tập con hữu hạn F và số nguyên $n$. Đặt

$'$ 1 $n'-1$

$y$ = $\sum\pi (g_i)x\pi (g_i)$.

$i=1$

Ta có $\|y'\|<1-\varepsilon$. (Cho $p_i$ là phép chiếu trực giao của $\ell^2(G)$ lên $\ell^2(g_iB)$ ; hãy kiểm tra rằng

với $1\leqslant i\leqslant n$, và suy ra rằng

$i=1i=1$

sau đó chú ý rằng các tự đồng cấu $p_i\pi (g_i)x'\pi (g_i^{-1})$ có các ảnh trực giao từng đôi một để ước lượng các chuẩn của chúng.)

d) I chứa phần tử

1 $^n-_1$

1 + $\sum\pi (g_i)x\pi (g_i)$,

$i=1$

và phần tử này khả nghịch. Do đó, đại số stellar Stell$_r(G)$ không chứa iđêan hai phía đóng khác không nào phân biệt với $\{0\}$ và Stell$_r(G)$.

e) Cho G là một nhóm tự do không giao hoán. Khi đó G có tính chất Powers.