Exercice 6, § 6

Soit A une algèbre de Banach unifère commutative involutive dont tout caractère est hermitien. Supposons que, pour tout élément $x\in A$ hermitien non inversible, on a $\|(x-\lambda )^{-1}\|=o(\mathscr{I}(\lambda )^{-2})$ quand $\lambda$ tend vers 0 avec $\mathscr{I}(\lambda )\not= 0$. Alors tout idéal fermé I de A est intersection d’idéaux maximaux. (Soit $\varphi : A\longrightarrow A/I$ le morphisme canonique. Soit $x\in A$ tel que $\varphi (x)$ soit dans le radical de $A/I$. Il faut prouver que $\varphi (x) = 0$. Se ramener au cas où $x$ est hermitien. Utiliser alors l’exerc. 29 de I, p. 161).