Bài tập 6, § 6

Cho $A$ là một đại số Banach giao hoán có đơn vị, có phép đối hợp, mà mọi đặc trưng của nó đều là Hermit. Giả sử rằng, với mọi phần tử Hermit không khả nghịch $x\in A$, ta có $\|(x-\lambda )^{-1}\|=o(\mathscr{I}(\lambda )^{-2})$ khi $\lambda$ tiến tới 0 với $\mathscr{I}(\lambda )\not= 0$. Khi đó mọi iđêan đóng I của A đều là giao của các iđêan cực đại. (Cho $\varphi : A\longrightarrow A/I$ là cấu xạ chính tắc. Cho $x\in A$ sao cho $\varphi (x)$ thuộc căn của $A/I$. Cần chứng minh rằng $\varphi (x) = 0$. Hãy rút gọn về trường hợp $x$ là Hermit. Sau đó dùng Bài tập 29 của I, p. 161).