Exercice 1, § 7

Soient $E =\mathscr{C}([0,1])$ et $u$ l’endomorphisme de E défini par

a) Le rayon spectral de $u$ est nul. (Estimer la norme de $u^n.$)

b) Le spectre de $u$ est réduit à 0, et pour tout $n\geqslant 1$, le noyau de $u^n$ est réduit à 0.

(En particulier, le point 0 est un point isolé du spectre de $u$, mais l’adhérence de l’union des noyaux de $u^n$ pour $n\geqslant 1$ n’est pas égale au sous-espace spectral $E_0(x)$.)