Bài tập 1, § 7

Cho $E =\mathscr{C}([0,1])$ và $u$ là tự đồng cấu của E được xác định bởi

a) Chứng minh rằng bán kính phổ của $u$ bằng không. (Hãy ước lượng chuẩn của $u^n.$)

b) Chứng minh rằng phổ của $u$ chỉ gồm 0, và với mọi $n\geqslant 1$, hạt nhân của $u^n$ chỉ gồm 0.

(Đặc biệt, điểm 0 là một điểm cô lập của phổ của $u$, nhưng bao đóng của hợp các hạt nhân của $u^n$ với $n\geqslant 1$ không bằng không gian con phổ $E_0(x)$.)