Exercice 10, § 7

Soit E un espace hilbertien complexe. Soient $x_1$ et $x_2$ des endomorphismes de E. Montrer que le spectre de l’endomorphisme $x_1\otimes x_2$ de $E\widehat{\otimes}_2E$ est égal à Sp($x_1$) Sp($x_2$). (Identifier $\overline{E}\widehat{\otimes}_2E$ avec l’espace des opérateurs de Hilbert–Schmidt de E dans E, cf. EVT 5, p. 52, th. 1, b), et appliquer l’exercice précédent.)