Exercice 11, § 7

Soit $u$ un endomorphisme d’un espace hilbertien complexe E et soit $(j,|u|)$ sa décomposition polaire.

a) Pour que $j$ commute à $|u|$, il faut et il suffit que $u$ commute à $u^*u$.

b) Démontrer qu’on a alors $\|u^*(x)\|\leqslant \|u(x)\|$ pour tout $x\in E$, et que $\varrho (u) =\|u\|$.

c) Soit $E =\ell^2(\mathbf{N})$ et soit $u$ l’endomorphisme de E donné par

Il n’est pas normal. Calculer la décomposition polaire $(j,|u|)$ de $u;j$ est permutable à $|u|$.