Bài tập 11, § 7

Cho $u$ là một tự đồng cấu của một không gian Hilbert phức E và $(j,|u|)$ là phân tích cực của nó.

(a) Để $j$ giao hoán với $|u|$, điều kiện cần và đủ là $u$ giao hoán với $u^*u$.

(b) Chứng minh rằng khi đó ta có $\|u^*(x)\|\leqslant \|u(x)\|$ với mọi $x\in E$, và $\varrho (u) =\|u\|$.

(c) Cho $E =\ell^2(\mathbf{N})$ và cho $u$ là tự đồng cấu của E được cho bởi

Nó không chuẩn. Tính phân tích cực $(j,|u|)$ của $u$; $j$ giao hoán với $|u|$.