Exercice 12, § 7

Soit $u$ un endomorphisme d’un espace de Banach E. On note $\sigma_a(u)$ l’ensemble des $\lambda \in \mathbf{C}$ tel que, pour tout $\alpha \in \mathbf{R}_+^*$, il existe $x\in E$ tel que $\|\lambda x-u(x)\|< \alpha \|x\|$.

a) Démontrer que $\sigma_a(u)$ est une partie fermée de $\sigma (u)$.

b) Démontrer que $\sigma_a(u)$ contient la frontière de $\sigma (u)$.