Exercice 13, § 7

Soit E un espace hilbertien complexe. Soit N une application de $\mathscr{L}(E)$ dans $\mathfrak{P}(\mathbf{C})$ telle que

a) $N(u)$ est compact pour tout $u\in \mathscr{L}(E)$ ;

b) $N(\alpha u+\beta 1_E) =\alpha N(u) +\beta$ pour tout $u\in \mathscr{L}(E)$ et tout $(\alpha , \beta )\in \mathbf{C}^2$;

c) $N(u)\subset \{z\in \mathbf{C}|\mathscr{R}(z)\geqslant 0\}$ si et seulement si $u+u^*$ est positif.

Alors $N(u) =\iota (u)$ pour tout $u\in \mathscr{L}(E)$. (Montrer que $u\mapsto \iota (u)$ a les propriétés indiquées ; soient $N_1$ et $N_2$ des applications les vérifiant ; supposant que $N_1(u)$ n’est pas contenu dans $N_2(u)$, trouver $\alpha$ et $\beta$ dans $\mathbf{C}$ tels que $N_2(\alpha u+\beta )$ est contenu dans le demi-plan $\mathscr{R}(z)\geqslant 0$, mais $N_1(\alpha u+\beta )$ ne l’est pas, et conclure à une contradiction en utilisant c).)