Bài tập 13, § 7

Cho E là một không gian Hilbert phức. Cho N là một ánh xạ từ $\mathscr{L}(E)$ vào $\mathfrak{P}(\mathbf{C})$ sao cho

a) $N(u)$ là compact với mọi $u\in \mathscr{L}(E)$ ;

b) $N(\alpha u+\beta 1_E) =\alpha N(u) +\beta$ với mọi $u\in \mathscr{L}(E)$ và mọi $(\alpha , \beta )\in \mathbf{C}^2$;

c) $N(u)\subset \{z\in \mathbf{C}|\mathscr{R}(z)\geqslant 0\}$ khi và chỉ khi $u+u^*$ là dương.

Khi đó $N(u) =\iota (u)$ với mọi $u\in \mathscr{L}(E)$. (Chứng minh rằng $u\mapsto \iota (u)$ có các tính chất đã chỉ ra; cho $N_1$ và $N_2$ là các ánh xạ thỏa mãn chúng; giả sử rằng $N_1(u)$ không được chứa trong $N_2(u)$, hãy tìm $\alpha$ và $\beta$ trong $\mathbf{C}$ sao cho $N_2(\alpha u+\beta )$ được chứa trong nửa mặt phẳng $\mathscr{R}(z)\geqslant 0$, nhưng $N_1(\alpha u+\beta )$ thì không, và kết luận là mâu thuẫn nhờ c).)