Exercice 15, § 7

On munit l’ensemble X des parties compactes non-vides de $\mathbf{C}$ de la distance définie dans TG, IX, p. 91, exerc. 6. Soit E un espace hilbertien complexe.

a) L’application $u\mapsto \iota (u)$ de $\mathscr{L}(E)$ dans X est continue. Si E est de dimension infinie, elle n’est pas continue lorsque $\mathscr{L}(E)$ est muni de la topologie de la convergence simple.

b) L’application $u\mapsto$ Sp($u$) de $\mathscr{L}(E)$ dans X n’est pas continue.