Exercice 7, § 7

Soit $u$ un endomorphisme d’un espace hilbertien complexe E tel que le spectre de $u$ est contenu dans le disque unité ouvert de $\mathbf{C}$. Soient F l’espace hilbertien $\ell^2_E(\mathbf{N})$ des suites de carré sommable d’éléments de E (EVT, V, p. 18, exemple) et $s_F$ l’endomorphisme de F tel que

Il existe un sous-espace fermé H de F et une application linéaire bijective continue $v: E\rightarrow H$ telle que $u=v^{-1}s_Fv$.