Exercice 8, § 7

Soit $u$ un endomorphisme d’un espace hilbertien complexe E. Soit $S_u$ l’ensemble des endomorphismes de E de la forme $wuw^{-1}$ où $w$ parcourt l’ensemble des endomorphismes inversibles de E.

a) On a

$\varrho (u) =$ inf$_{v\in S_u}\|v\|$.

(On peut supposer que $\varrho (u)\leqslant 1$ ; appliquer l’exercice précédent aux endomorphismes $u_{\varepsilon}= (1 +\varepsilon )^{-1}u$ pour $\varepsilon >0$.) b) L’enveloppe convexe du spectre de $u$ est égale à l’intersection des sous-ensembles $\iota (v)$ pour $v\in S_u$ (« théorème de Hildebrandt »).