Bài tập 8, § 7

Cho $u$ là một tự đồng cấu của một không gian Hilbert phức E. Gọi $S_u$ là tập hợp các tự đồng cấu của E có dạng $wuw^{-1}$, trong đó $w$ chạy qua tập hợp các tự đồng cấu khả nghịch của E.

(a) Ta có

$\varrho (u) =$ inf$_{v\in S_u}\|v\|$.

(Có thể giả sử rằng $\varrho (u)\leqslant 1$; áp dụng bài tập trước cho các tự đồng cấu $u_{\varepsilon}= (1 +\varepsilon )^{-1}u$ với $\varepsilon >0$.) (b) Bao lồi của phổ của $u$ bằng giao của các tập con $\iota (v)$ với $v\in S_u$ (“định lý Hildebrandt”).