Exercice 9, § 7

Soit E un espace de Banach complexe.

a) Soit $u\in \mathscr{L}(E)$. Considérons les endomorphismes $\boldsymbol{\gamma }_u$ et $\boldsymbol{\delta }_u$ de $\mathscr{L}(E)$ définis par $\boldsymbol{\gamma }_u(v) =u\circ v$ et $\boldsymbol{\delta }_u(v) =v\circ u$. On a Sp($u$) $=$ Sp($\boldsymbol{\gamma }_u$) $=$ Sp($\boldsymbol{\delta }_u$), où les deux derniers spectres sont relatifs à l’algèbre $\mathscr{L}(\mathscr{L}(E))$.

b) Pour toute fonction $f$ holomorphe au voisinage du spectre de $u$, on a $\boldsymbol{\gamma }_{f(u)}=f(\boldsymbol{\gamma }_u)$ et $\boldsymbol{\delta }_{f(u)}=f(\boldsymbol{\delta }_u)$.

c) Soient $u_1$ et $u_2$ dans $\mathscr{L}(E)$. Soit $\varrho$ l’endomorphisme $v\mapsto u_1\circ v\circ u_2$ de $\mathscr{L}(E)$. Son spectre est égal à Sp($u_1$) Sp($u_2$)$\subset \mathbf{C}$.

d) Soient $u_1$ et $u_2$ dans $\mathscr{L}(E)$. Soit $\varrho$ l’endomorphisme $v\mapsto u_1\circ v\circ u_2$ de l’espace $\mathscr{L}_2(E)$ des applications de Hilbert–Schmidt de E dans E. Son spectre est égal à Sp($u_1$) Sp($u_2$)$\subset \mathbf{C}$. (Appliquer une méthode similaire.)