Bài tập 9, § 7

Cho E là một không gian Banach phức.

a) Cho $u\in \mathscr{L}(E)$. Xét các tự đồng cấu $\boldsymbol{\gamma }_u$ và $\boldsymbol{\delta }_u$ của $\mathscr{L}(E)$ được xác định bởi $\boldsymbol{\gamma }_u(v) =u\circ v$ và $\boldsymbol{\delta }_u(v) =v\circ u$. Ta có Sp($u$) $=$ Sp($\boldsymbol{\gamma }_u$) $=$ Sp($\boldsymbol{\delta }_u$), trong đó hai phổ sau cùng được xét tương đối với đại số $\mathscr{L}(\mathscr{L}(E))$.

b) Với mọi hàm $f$ chỉnh hình trong một lân cận của phổ của $u$, ta có $\boldsymbol{\gamma }_{f(u)}=f(\boldsymbol{\gamma }_u)$ và $\boldsymbol{\delta }_{f(u)}=f(\boldsymbol{\delta }_u)$.

c) Cho $u_1$ và $u_2$ thuộc $\mathscr{L}(E)$. Gọi $\varrho$ là tự đồng cấu $v\mapsto u_1\circ v\circ u_2$ của $\mathscr{L}(E)$. Phổ của nó bằng Sp($u_1$) Sp($u_2$)$\subset \mathbf{C}$.

d) Cho $u_1$ và $u_2$ thuộc $\mathscr{L}(E)$. Gọi $\varrho$ là tự đồng cấu $v\mapsto u_1\circ v\circ u_2$ của không gian $\mathscr{L}_2(E)$ gồm các ánh xạ Hilbert–Schmidt từ E vào E. Phổ của nó bằng Sp($u_1$) Sp($u_2$)$\subset \mathbf{C}$. (Áp dụng một phương pháp tương tự.)