Exercice 1, § 8

Soient X un espace topologique, $\mathscr{C}_b(X)$ l’algèbre stellaire des fonctions complexes continues bornées sur X et $\widehat{X} =\mathsf{X}(\mathscr{C}_b(X))$.

a) Soient A une sous-algèbre de Banach unifère de $\mathscr{C}_b(X)$ et $R_A$ la relation d’équivalence dans X telle que $x$ équivaut à $x'$ si $f(x) =f(x')$ pour toute fonction $f\in A$. Le saturé S pour $R_A$ d’une partie compacte K de X est fermé. (Soit $x\in \overline{S}$; pour tout $f\in A$ et tout $\varepsilon >0$, soit $V_{f,\varepsilon}$ l’ensemble des $x'\in X$ tels que $|f(x)-f(x')|\leqslant \varepsilon$; si $f_1, . . . , f_n\in A$ et $\varepsilon_1, . . . , \varepsilon_n>0$, on a

donc

$\varepsilon >0$

d’où $x\in S$.)

b) On suppose X normal. Soient R une relation d’équivalence fermée dans X et $A = A_R$ la sous-algèbre de $\mathscr{C}_b(X)$ formée des fonctions constantes sur les classes suivant R. Montrer que $R = R_A$. (Utiliser TG, IX, p. 105, exerc. 19, a).)

c) On suppose X compact. Alors $R\mapsto A_R$ est une bijection de l’ensemble des relations d’équivalence séparées de X sur l’ensemble des sous-algèbres stellaires de $\mathscr{C}(X)$. (Soit A une sous-algèbre stellaire de $\mathscr{C}(X)$. Montrer que $R_A$ est séparée, et appliquer le théorème de Weierstrass-Stone à l’algèbre de fonctions continues sur $X/R_A$ déduite de A par passage au quotient.)