Bài tập 1, § 8

Cho $X$ là một không gian tôpô, $\mathscr{C}_b(X)$ là đại số sao của các hàm liên tục bị chặn phức trên $X$ và $\widehat{X} =\mathsf{X}(\mathscr{C}_b(X))$.

a) Cho $A$ là một đại số con Banach có đơn vị của $\mathscr{C}_b(X)$ và cho $R_A$ là quan hệ tương đương trong X sao cho $x$ tương đương với $x'$ nếu $f(x) =f(x')$ với mọi hàm $f\in A$. Tập con bão hòa S đối với $R_A$ của một tập con compact K của X là đóng. (Cho $x\in \overline{S}$; với mọi $f\in A$ và mọi $\varepsilon >0$, cho $V_{f,\varepsilon}$ là tập hợp các $x'\in X$ sao cho $|f(x)-f(x')|\leqslant \varepsilon$; nếu $f_1, . . . , f_n\in A$ và $\varepsilon_1, . . . , \varepsilon_n>0$, ta có

do đó

$\varepsilon >0$

do đó $x\in S$.)

b) Giả sử X là chuẩn. Cho R là một quan hệ tương đương đóng trong X và cho $A = A_R$ là đại số con của $\mathscr{C}_b(X)$ tạo bởi các hàm hằng trên các lớp theo R. Bây giờ chứng minh rằng $R = R_A$. (Dùng TG, IX, p. 105, bài tập 19, a).)

c) Giả sử X là compact. Khi đó $R\mapsto A_R$ là một song ánh từ tập hợp các quan hệ tương đương tách được của X lên tập hợp các đại số sao của $\mathscr{C}(X)$. (Cho A là một đại số sao của $\mathscr{C}(X)$. Bây giờ chứng minh rằng $R_A$ là tách được, và áp dụng định lý Weierstrass-Stone cho đại số các hàm liên tục trên $X/R_A$ suy ra từ A bằng cách chuyển qua thương.)