a) Ánh xạ $j$ có chuẩn $\leqslant 1$ trong $\mathscr{L}(B;\mathscr{C}(X))$ ;

b) Căn của đại số B bằng không ;

c) Ánh xạ ev là liên tục từ X vào $\mathsf{X}(B)$ ;

d) Nếu B phân ly các điểm của X, thì ánh xạ ev là một đồng phôi của X lên một tập con đóng của $\mathsf{X}(B)$.

Có thể đồng nhất X với $\mathsf{X}(\mathscr{C}(X))$ và $\mathscr{G}_{\mathscr{C}(X)}$ với ánh xạ đồng nhất (ví dụ 1 của I, p. 36). Khi đó ánh xạ ev được đồng nhất với $\mathsf{X}(j)$, điều này chứng minh c).

Với mọi hàm $f\in B$ và mọi $x\in X$, ta có $\mathscr{G}_B(f$)(ev$_x$) $=f(x)$, do đó

$\|f\|_{\mathscr{C}(X)}=$ sup$_{x\in X}|\mathscr{G}_B(f$)(ev$_x$)$|\leqslant \varrho_B(f)\leqslant \|f\|_B$,

(xem mệnh đề 7 của I, p. 38, a)) điều này kéo theo a). Hơn nữa, điều này cho thấy biến đổi Gelfand của B là đơn ánh, do đó b) (mệnh đề 8 của I, p. 38). Nếu B phân ly các điểm của X, thì ánh xạ ev là đơn ánh, do đó d) vì X là compact.

Bây giờ ta xét tính toàn ánh của ánh xạ ev.

a) Nếu ánh xạ ev là toàn ánh, thì đại số B là một đại số con đầy đủ của $\mathscr{C}(X)$ ;

b) Giả sử B là một đại số con đầy đủ của $\mathscr{C}(X)$, và tồn tại một phần tử $a\in B$ sao cho tập các phần tử $f(a)$, trong đó $f$ chạy trên tập các hàm hữu tỉ trên $\mathbf{C}$ không có cực trên Sp$_B(a)$, là trù mật trong B. Khi đó ánh xạ ev là toàn ánh ;

c) Nếu B là một đại số con đối hợp đầy đủ của $\mathscr{C}(X)$, thì ánh xạ ev là toàn ánh.

Mệnh đề a) suy ra từ mệnh đề 10 của I, p. 40, và mệnh đề b) suy ra từ mệnh đề 11 của I, p. 41, vì đại số con đầy đủ của B sinh bởi $a$ là tập các phần tử $f(a)$, trong đó $f$ chạy trên tập các hàm hữu tỉ trên $\mathbf{C}$ không có cực trên Sp$_B(a)$ (bổ đề I, p. 6 và mệnh đề 6 của I, p. 37, b)).

Hãy chứng minh c). Giả sử khi đó B là một đại số con đối hợp đầy đủ của $\mathscr{C}(X)$. Để chứng minh rằng ev là toàn ánh, chỉ cần chứng minh rằng với mọi $\chi \in \mathsf{X}(B)$, tồn tại $y\in X$ sao cho Ker($\chi$ ) $=$ Ker(ev$_y$) (định lý 2 của I, p. 30). Đặt I = Ker($\chi$ ). Đó là một iđêan cực đại của B. Gọi Φ là tập hợp các $x\in X$ sao cho $f(x) = 0$ với mọi $f\in I$. Hãy chứng minh rằng Φ không rỗng. Nếu không, vì X compắc, sẽ tồn tại một số nguyên $n\geqslant 1$, một phủ mở $(V_1, . . . ,V_n)$ của X và, với mỗi số nguyên $i$ sao cho $1\leqslant i\leqslant n$, một hàm $f_i\in I$ sao cho $f_i(x)\not= 0$ với mọi $x\in V_i$. Vì đại số B là một đại số con đối hợp của $\mathscr{C}(X)$, hàm

sẽ thuộc I. Bây giờ $f(x)>0$ với mọi $x\in X$, và do đó $f$ sẽ khả nghịch trong $\mathscr{C}(X)$. Vì B được giả sử là một đại số con đầy đủ của $\mathscr{C}(X)$, hàm $f\in$ I sẽ khả nghịch trong B, điều này là không thể. Do đó, tập hợp Φ không rỗng. Gọi $y$ là một phần tử của Φ; hạt nhân của đặc trưng ev$_y$ chứa I, và do đó bằng I.

a) Với mọi $f\in B$, biến đổi Gelfand $\mathscr{G}_B(f)$ là một hàm liên tục trên $\mathsf{X}(B)$ mở rộng $f$ và thỏa mãn $\|f\|=$ sup$|\mathscr{G}_B(f)|$. Đặc biệt, $\mathscr{G}_B$ là một đẳng cấu đẳng cự từ B lên một đại số con Banach của $\mathscr{C}(\mathsf{X}(B))$ ;

b) Gọi $B^*$ là tập hợp các phần tử khả nghịch của B. Với mọi đặc trưng $\chi \in \mathsf{X}(B)$, tồn tại một độ đo dương $\mu$ có khối lượng 1 trên X sao cho, với mọi $f\in B^*$, ta có

log($|\chi (f)|$) $=\int_X$ log($|f|$)$d\mu$.

Hơn nữa, với mọi $f\in B$, ta có

c) Giả sử rằng mọi phần tử của $\mathscr{C}_{\mathbf{R}}(X)$ đều là giới hạn đều của các phần thực của những hàm thuộc B. Khi đó, với mọi $\chi \in \mathsf{X}(B)$, tồn tại duy nhất một độ đo $\mu_{\chi}\geqslant 0$ trên X sao cho, với mọi hàm $f\in B$, ta có

Hơn nữa, với mọi hàm $f\in B$, ta có

log($|\chi (f)|$)$\leqslant \int_X$ log($|f|$)$d\mu_{\chi}$; hàm log$|f|$ bị chặn trên, nên tích phân tồn tại trong $\mathbf{R}\cup \{-\infty \}$.

Mệnh đề a) suy ra từ việc đồng nhất X với một không gian con đóng của $\mathsf{X}(B)$ và từ các bất đẳng thức

$\|f\|=$ sup$_{x\in X}|f(x)|\leqslant$ sup$_{\chi\in\mathsf{X}(B)}|\chi (f)|=$ sup$|\mathscr{G}_B(f)|=\varrho_B(f)\leqslant \|f\|$

với mọi $f\in B$.

Cho $\chi \in \mathsf{X}(B)$ và $n$ là một số nguyên dương. Cho $\lambda_1, . . . , \lambda_n\in \mathbf{R}$ và $f_1, . . . , f_n\in B^*$. Khi đó ta có

(1) $\sum_{i=1}^n\lambda_i$ log($|\chi (f_i)|$)$\leqslant$ sup$_{x\in X}(\sum_{i=1}^n\lambda_i$ log($|f_i(x)|$)).

Thật vậy, do tính liên tục, chỉ cần chứng minh bất đẳng thức này khi các số thực $\lambda_i$ là hữu tỉ. Quy đồng về một mẫu số chung, ta được quy về trường hợp $\lambda_i\in \mathbf{Z}$ với mọi $i$. Khi đó bất đẳng thức có dạng

log($|\chi (f_1^{\lambda_1}\cdots f_n^{\lambda_n})|$)$\leqslant$ sup$_{x\in X}$ log($|(f_1^{\lambda_1}\cdots f_n^{\lambda_n})(x)|$),

và suy ra từ việc $\|\chi \|= 1$ (định lý 1 của I, p. 29).

Cho $B'$ là không gian vectơ sinh trong $\mathscr{C}_{\mathbf{R}}(X)$ bởi các hàm log($|f|$) với $f\in B^*$. Cận trên (1) chứng tỏ rằng tồn tại một dạng tuyến tính $h$ có chuẩn $\leqslant$ 1 trên $B'$ sao cho log($|\chi (f)|$) $=h$(log($|f|$)) với mọi $f\in B^*$. Theo định lý Hahn-Banach (EVT, II, p. 24, hệ quả 2), dạng tuyến tính $h$ mở rộng thành một dạng tuyến tính $\mu$ có chuẩn $\leqslant 1$ trên $\mathscr{C}_{\mathbf{R}}(X)$, nghĩa là thành một độ đo thực $\mu$ trên X sao cho $\|\mu\|\leqslant 1$ (INT, III, §1, n$^o5$). Lấy cho phần tử $f$ của $B^*$ hằng số $e=$ exp(1), ta thấy rằng $1 =\mu(1)$. Do đó, viết $\mu=\mu^+-\mu^-$ thành hiệu của hai độ đo dương kỳ dị lẫn nhau (INT, III, §1, n$^o6$, định lý 3), ta được

do đó $\mu=\mu^+\geqslant 0$ và $\|\mu\|= 1$.

Với mọi $f\in B$, ta có exp($f$)$\in B^*$, nên

$\int_X\mathscr{R}(f)d\mu=\int_X$ log($|$exp($f$)$|$)$d\mu=$ log($|\chi$(exp($f$))$|$)

= log($|$exp($\chi (f)$)$|$) $=\mathscr{R}(\chi (f))$,

trong đó Hệ quả 1 của I, p. 66 đã được dùng. Áp dụng đẳng thức này cho $if$, ta kết luận rằng $\int_Xf d\mu=\chi (f)$. Điều này chứng minh b).

Giả sử các giả thiết của c) được thỏa mãn. Sự tồn tại của $\mu_{\chi}$ suy ra từ b). Mặt khác, ta có $\mu_{\chi}(\mathscr{R}(f)) =\mathscr{R}(\chi (f))$ với mọi $f\in B$. Vì các phần thực của các hàm $f\in B$ trù mật trong $\mathscr{C}_{\mathbf{R}}(X)$ theo giả thiết, nên độ đo $\mu_{\chi}$ được xác định duy nhất bởi $\chi$.

Cho $f\in B$. Cho $\varepsilon >0$ là một số thực. Theo giả thiết, tồn tại một hàm $g\in B$ sao cho

(2) $\mathscr{R}(g)-\varepsilon \leqslant$ log($|f|+\varepsilon$ )$\leqslant \mathscr{R}(g) +\varepsilon$.

Đặt $h=$ exp($g$)$\in B^*$. Theo (2), ta có

Cận trên suy ra $|f h^{-1}|\leqslant e^{\varepsilon}$, do đó $|\chi (f h^{-1})|\leqslant e^{\varepsilon}$, và do đó

(4) log($|\chi (f)|$)$\leqslant$ log($|\chi (h)|$) $+\varepsilon =\int_X$ log($|h|$)$d\mu_{\chi}+\varepsilon$.

Cận dưới trong (3) khi đó suy ra

log($|\chi (f)|$)$\leqslant \int_X$ log $(|f|+\varepsilon )d\mu_{\chi}+ 2\varepsilon$.

Cho $\varepsilon$ tiến tới 0, ta suy ra rằng

log($|\chi (f)|$)$\leqslant \int_X$ log($|f|$)$d\mu_{\chi}$.

Điều này hoàn tất chứng minh.

X $\rightarrow \mathsf{X}(B)$

Sp$_{\mathscr{C}(X)}((x_{\lambda}))\rightarrow$ Sp$_B((x_{\lambda}))$

trong đó $\varphi$ và $\varphi '$ là các ánh xạ được xác định bởi họ $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}($xem No.$^o6$ của I, p. 41), và $i$ và $j$ là các đơn ánh chính tắc. Khi đó:

a) Các ánh xạ $\varphi$ và $\varphi '$ là các đồng phôi;

b) phổ chung Sp$^{\Lambda}_B((x_{\lambda}))$ là bao lồi đa thức của Sp$^{\Lambda}_{\mathscr{C}(X)}((x_{\lambda}))$;

c) Ánh xạ $\varphi$ biến đổi $\mathscr{C}(X)$ thành $\mathscr{C}$(Sp$^{\Lambda}_{\mathscr{C}(X)}((x_{\lambda}))$) và B thành P(Sp$^{\Lambda}_{\mathscr{C}(X)}((x_{\lambda}))$) ;

d) Ánh xạ $\varphi '$ biến đổi $\mathscr{G}_B(B)$ thành P(Sp$^{\Lambda}_B((x_{\lambda}))$) ;

e) Các ánh xạ $\varphi$ và $\varphi '$ biến đổi $\mathscr{G}_B$ thành đẳng cấu chính tắc của P(Sp$^{\Lambda}_{\mathscr{C}(X)}((x_{\lambda}))$) lên P(Sp$^{\Lambda}_B((x_{\lambda}))$).

Các ánh xạ $\varphi$ và $\varphi '$ là liên tục và toàn ánh (No.$^o6$ của I, p. 41). Ánh xạ $\varphi '$ là một đồng phôi theo mệnh đề a) của Mệnh đề 12 của I, p. 43, và $i$ là đơn ánh, do đó $\varphi$ là đơn ánh. Vậy $\varphi$ và $\varphi '$ là các đồng phôi.

Đặt $X_1$ = Sp$^{\Lambda}_{\mathscr{C}(X)}((x_{\lambda}))$. Bao lồi đa thức của $X_1$ là $Y_1=$ Sp$^{\Lambda}_B((x_{\lambda}))$ theo Mệnh đề 14 của I, p. 46.

Với mọi $\lambda \in \Lambda$, ký hiệu $z_{\lambda}$ là hàm tọa độ tương ứng trên $\mathbf{C}^{\Lambda}$. Ánh xạ $\varphi$ biến đổi $x_{\lambda}$ thành $z_{\lambda}|X_1$, và $\varphi '$ biến đổi $\mathscr{G}_B(x_{\lambda})$ thành $z_{\lambda}|Y_1$. Do đó $\varphi$ biến đổi B thành $P(X_1)$, và $\varphi '$ biến đổi $\mathscr{G}_B(B)$ thành $P(Y_1)$. Sau cùng, $\varphi$ và $\varphi '$ biến đổi $\mathscr{G}_B$ thành đẳng cấu chính tắc của $P(X_1)$ lên $P(Y_1)$.

a) Ánh xạ $\theta$ từ $\mathsf{X}(P(X))$ lên Sp$^{\Lambda}_{P(X)}((z_{\lambda}))$ được xác định bởi họ $(z_{\lambda})$ là một đồng phôi của $\mathsf{X}(P(X))$ lên bao lồi đa thức Y của X. Hạn chế của nó trên X là ánh xạ đồng nhất của X ;

b) Với mọi hàm $f\in P(X)$, đồng phôi $\theta$ biến đổi sự kéo dài $\mathscr{G}_{P(X)}(f)$ của $f$ tới $\mathsf{X}(P(X))$ thành một sự kéo dài $\widetilde{f}$ của $f$ tới Y. Ánh xạ $f\mapsto \widetilde{f}$ là đẳng cấu chính tắc của P(X) lên P(Y).

Trong mệnh đề 4, lấy B = P(X) và $x_{\lambda}=z_{\lambda}$. Khi đó $\varphi$ trở thành ánh xạ đồng nhất và $\varphi '$ trở thành ánh xạ $\theta$. Khi ấy các khẳng định của hệ quả được quy về các khẳng định của loc. cit.

Nếu X liên thông thì các lũy đẳng duy nhất của $\mathscr{C}(X)$, và do đó của P(X), là 0 và 1 (hệ quả của mệnh đề I, p. 79). Do đó, không gian $\mathsf{X}(P(X))$ là liên thông (loc. cit.); mà tập hợp này đồng phôi với bao lồi đa thức của X (hệ quả 1, a)).

Bao đóng của tập O trong $\mathbf{C}-$ X bằng $\overline{O}\cap (\mathbf{C}-$ X) trong đó $\overline{O}$ là bao đóng của nó trong $\mathbf{C}$. Vì O là một thành phần liên thông của $\mathbf{C}-$ X, nên do đó ta có $\overline{O}\cap (\mathbf{C}-$ X) = O, điều này chứng minh rằng $\overline{O}-O\subset X$.

Cho X là một tập con compact của $\mathbf{C}$. Cho $O_{\infty}$ là thành phần liên thông không bị chặn của $\mathbf{C}-$X, và cho $(O_i)_{i\in I}$ là họ các thành phần liên thông bị chặn của $\mathbf{C}-$ X, các tập con $O_i$ là từng đôi một phân biệt.

Cho E là một tập con của $\mathbf{C}-$ X. Ta ký hiệu bởi $R_E(X)$ bao đóng trong $\mathscr{C}(X)$ của tập hợp các hàm $f|X$, trong đó $f$ là một hàm hữu tỉ trên $\mathbf{C}$ mà mọi cực của nó đều thuộc về E. Đại số $R_E(X)$ là một đại số con Banach có đơn vị của $\mathscr{C}(X)$, đại số con này phân biệt các điểm của X. Gọi $z$ là hàm đồng nhất trên X. Đại số con đóng đầy đủ của $R_E(X)$ sinh bởi $z$ bằng $R_E(X)$ (Bổ đề 2 của I, p. 6). Các phần tử của $R_E(X)$ là chỉnh hình trong phần trong của X.

Đặc biệt, ta có $R_{\emptyset}(X) = P(X)$. Ta viết $R(X) = R_{\mathbf{C}-X}(X)$. Gọi I(E) là tập hợp các phần tử $i\in I$ sao cho $E\cap O_i=\emptyset$, và

Tập hợp $X_E$ là compact, vì nó bị chặn và đóng, phần bù của nó trong $\mathbf{C}$ là hợp của tập mở $O_{\infty}$ và của các tập mở $O_i$ cắt E.

a) Ánh xạ hạn chế $h$ từ $R_E(X_E)$ vào $R_E(X)$ là một đẳng cấu đẳng cự;

b) Đại số $R_E(X_E)$ là một đại số con đầy đủ của $\mathscr{C}(X_E)$;

c) Mọi đặc trưng của $R_E(X_E)$ đều có dạng $f\mapsto f(w)$, trong đó $w$ là một phần tử của $X_E$;

d) Ánh xạ $\chi \mapsto \chi (z)$ là một đồng phôi từ $\mathsf{X}(R_E(X))$ lên $X_E$;

e) Nếu $E'$ là một tập con của $\mathbf{C}-$ X, ta có $R_E(X) = R_{E'}(X)$ khi và chỉ khi $X_E= X_{E'}$, điều này cũng tương đương với $I(E) = I(E')$.

Ánh xạ hạn chế $h$ từ $R_E(X_E)$ vào $R_E(X)$ là một cấu xạ các đại số Banach sao cho $\|h(f)\|\leqslant \|f\|$ đối với mọi hàm $f\in R_E(X_E)$. Cho $f\in R_E(X_E)$. Cho $i\in I(E)$. Vì $f$ chỉnh hình trong một lân cận của tập mở bị chặn $O_i$, nguyên lý cực đại (VAR, I, p. 29) suy ra rằng tồn tại một phần tử $z_0$ trên biên của $O_i$ sao cho $|f(z_0)|=$ sup$_{z\in O_i}|f(z)|$. Vì biên của $O_i$ được chứa trong X (bổ đề 1), suy ra sup$_{z\in O_i}|f(z)|\leqslant \|h(f)\|$. Vì bất đẳng thức này đúng với mọi $i\in I(E)$, suy ra $\|f\|\leqslant \|h(f)\|$. Vậy cấu xạ $h$ là đẳng cự, và đặc biệt là đơn ánh. Bây giờ ta chứng minh rằng nó là toàn ánh. Cho $g\in R_E(X)$. Tồn tại một dãy $(f_n)$ các hàm hữu tỉ có các cực thuộc E hội tụ đều đến $g$ trên X. Các $f_n|X_E$ là những phần tử của $R_E(X_E)$. Vì $h$ là đẳng cự, dãy $(f_n|X_E)$ hội tụ trong $\mathscr{C}(X_E)$. Nếu $f$ là giới hạn của nó, thì $f\in R_E(X_E)$ và $g=f|X =h(f)$. Do đó a).

Ta chứng minh mệnh đề d). Áp dụng mệnh đề 3 của I, p. 144 cho đại số $B = R_E(X)$. Mệnh đề b) của loc. cit. suy ra rằng ánh xạ gán cho $\chi$ giá trị $\chi (z)$ là một đồng phôi của $\mathsf{X}(R_E(X))$ lên Sp$_{R_E(X)}(z)$. Gọi $z_E$ là ánh xạ đồng nhất của $X_E$. Theo loc. cit., a), ta có Sp$_{R_E(X)}(z) =$ Sp$_{R_E(X_E)}(z_E)$. Vậy chỉ cần chứng minh rằng Sp$_{R_E(X_E)}(z_E) = X_E$. Hệ quả của mệnh đề 6 của I, p. 28 chứng minh rằng Sp$_{R_E(X_E)}(z_E)$ là hợp của Sp$_{\mathscr{C}(X_E)}(z_E) = X_E$ và của một số thành phần liên thông bị chặn của phần bù của $X_E$. Gọi $O_i$ là một trong các thành phần liên thông bị chặn của phần bù của $X_E$. Khi đó giao $E\cap O_i$ khác rỗng. Cho $\lambda \in E\cap O_i$; vì $(\lambda -z_E)^{-1}\in R_E(X_E)$, ta có $\lambda \notin$ Sp$_{R_E(X_E)}(z_E)$. Do đó, $O_i$ không được chứa trong Sp$_{R_E(X_E)}(z_E)$. Điều này cho thấy rằng Sp$_{R_E(X_E)}(z_E) = X_E$.

Hơn nữa, đẳng thức này suy ra rằng Sp$_{R_E(X_E)}(z_E) =$ Sp$_{\mathscr{C}(X_E)}(z_E)$. Điều này thiết lập điều kiện (iii) của mệnh đề 11 của I, p. 41, áp dụng cho đơn ánh chính tắc của $R_E(X_E)$ vào $\mathscr{C}(X_E)$ và cho phần tử $z_E$. Các mệnh đề b) và c) là các điều kiện tương đương (i) và (ii) của loc. cit.

Mệnh đề d) cho thấy rằng $X_E= X_{E'}$ nếu $R_E(X) = R_{E'}(X)$. Ngược lại, giả sử rằng $X_E= X_{E'}$. Thay thế $E'$ bởi $E\cup E'$, ta có thể giả sử rằng $E\subset E'$. Theo b), đại số $R_E(X_E)$ là một đại số con đầy đủ đóng của $\mathscr{C}(X_E)$, và do đó cũng là một đại số con đầy đủ đóng của $R_{E'}(X_E)$. Nó chứa $z_E$, và vì thế $R_E(X_E) = R_{E'}(X_E)$. Áp dụng a), ta suy ra rằng $R_E(X) = R_{E'}(X)$. Cuối cùng, tính tương đương của $X_E= X_{E'}$ và $I(E) = I(E')$ là một hệ quả của các định nghĩa.

(i) Tập E gặp mọi thành phần liên thông bị chặn của $\mathbf{C}-$ X ;

(ii) Ánh xạ $\chi \mapsto \chi (z)$ là một đồng phôi của $\mathsf{X}(R_E(X))$ lên X ;

(iii) Ta có $R_E(X) = R(X)$.

Đặt $E'=\mathbf{C}-$ X. Các điều kiện (i), (ii) và (iii) lần lượt tương đương với $I(E) = I(E')$, với $X_E= X_{E'}$ (theo mệnh đề 5, d)) và với $R_E(X) = R_{E'}(X)$. Vậy chúng tương đương với nhau theo mệnh đề 5, e).

Hệ quả sau đây làm cho định lý Runge chính xác hơn (định lý 3 của I, p. 69).

Với $E =\{\lambda_i\}_{i\in I}$, giả thiết là điều kiện (i) của hệ quả 1. Do đó $R_E(X) = R(X)$, và định lý 3 của I, p. 69 cho thấy rằng $R(X) =\mathscr{O}(X)$.