Exercice 10, § 8

Soient X un espace topologique compact et A une sous-algèbre de Banach unifère de $\mathscr{C}(X)$ pour la norme induite.

a) Une partie K de X est dite antisymétrique (relativement à A) si toute fonction $f\in A$ qui est réelle sur K est constante sur K. Toute partie antisymétrique est contenue dans une partie antisymétrique maximale. Une partie antisymétrique maximale est fermée. L’ensemble $\mathfrak{R}$ des parties antisymétriques maximales est une partition de X.

b) Soit $A^{\bot}$ l’orthogonal de A dans l’espace de Banach des mesures complexes sur X. Soit $\mu$ un point extrémal de la boule unité de $A^{\bot}$. Montrer que le support de $\mu$ est antisymétrique.

c) Soit $f\in \mathscr{C}(X)$. Si $f|K\in A|K$ pour tout $K\in \mathfrak{R}$, alors $f\in A$. (Appliquer b) et le théorème de Krein–Milman.) Retrouver à partir de là le théorème de Weierstrass–Stone (TG, X, p. 36, th. 3).

d) Une partie non vide E de X est appelée un pic (relativement à A) s’il existe $f\in A$ telle que $\|f\|= 1$ et que E soit l’ensemble des $x\in X$ pour lesquels $f(x) = 1$. On peut alors supposer $|f(x)|<1$ pour $x\notin E$ (remplacer $f$ par $\frac{1}{2}(1 +f)$). Toute intersection dénombrable non vide de pics est un pic. Si $E_1,E_2$ sont des pics, alors $E_1\cup E_2$ est un pic. (Soient $f_1, f_2\in A$ avec $f_i= 1$ sur $E_i,|f_i|<1$ sur X - $E_i$; soit $g_i=\frac{1}{4}(1-f_i)^{1/3}\in A$; alors $1-g_1g_2= 1$ sur $E_1\cup E_2,|1-g_1g_2|<1$ sur X - $(E_1\cup E_2)$.)

e) Soit E une intersection de pics. Soit I l’ensemble des $f\in A$ nulles sur E. Alors $f\mapsto f|E$ définit une isométrie de $A/I$ sur l’algèbre $A|E$ des restrictions à E de fonctions dans A.

f) Soit E un pic. Soit $E'\subset E$ un pic relativement à $A|E$. Alors $E'$ est un pic relativement à A.

g) Toute partie antisymétrique de X est une intersection de pics. (Utiliser d) et f).) h) Pour toute partie antisymétique K de X, l’algèbre $A|K$ est une sous-algèbre fermée de $\mathscr{C}(K)$. (Utiliser e) et g).)

i) Soit R l’ensemble des parties réelles des éléments de A. On suppose que $X\in \mathfrak{R}$ et que R est stable par multiplication. Alors X est réduit à un point. (Soit $x_0\in X$. Pour $u\in R$, il existe une unique $f\in A$ telle que $u=\mathscr{R}(f)$ et $f(x_0)\in \mathbf{R}$; poser $N(u) =\|f\|$. Alors R est un espace de Banach réel pour N; le théorème du graphe fermé prouve que la multiplication dans R est séparément continue donc continue. En déduire sur $S = R +iR$ une structure d’algèbre de Banach. Soit $p\in R$ avec $p(x)>0$ pour tout $x\in X$. Montrer que, pour tout caractère $\chi$ de S, on a $\mathscr{R}(\chi (p))>0$, et en déduire que log($p$)$\in R$. Supposant $X\not=\{x_0\}$, on peut construire une $f\in A$ telle que $0<\mathscr{R}(f)\leqslant 1$ sur X$,f(x_0)\in \mathbf{R}$ et telle que $\|f\|$ soit arbitrairement grand. D’après ce qui précède, il existe $V\in A$ avec $|V|^2=\mathscr{R}(f)$. On a $\|V\|\leqslant 1$ donc $N(\mathscr{R}(V))\leqslant 2$, mais

1

2

est arbitrairement grand.)

j) Si R est stable par multiplication, alors $A =\mathscr{C}(X)$. (Utiliser a), c), h), i).) Par suite, si $A\not=\mathscr{C}(X)$, il existe $u\in R$ telle que $u^2\notin R$.