Bài tập 10, § 8

Cho X là một không gian tôpô compắc và A là một đại số con Banach có đơn vị của $\mathscr{C}(X)$ đối với chuẩn cảm sinh.

a) Một tập con K của X được gọi là phản đối xứng (đối với A) nếu mọi hàm $f\in A$ nhận giá trị thực trên K đều hằng trên K. Mọi tập con phản đối xứng đều được chứa trong một tập con phản đối xứng cực đại. Một tập con phản đối xứng cực đại là đóng. Tập $\mathfrak{R}$ các tập con phản đối xứng cực đại là một phân hoạch của X.

b) Gọi $A^{\bot}$ là trực giao của A trong không gian Banach các độ đo phức trên X. Gọi $\mu$ là một điểm cực biên của quả cầu đơn vị của $A^{\bot}$. Bây giờ chứng minh rằng giá của $\mu$ là phản đối xứng.

c) Gọi $f\in \mathscr{C}(X)$. Nếu $f|K\in A|K$ với mọi $K\in \mathfrak{R}$, thì $f\in A$. (Áp dụng b) và định lý Krein–Milman.) Từ đó thu lại định lý Weierstrass–Stone (TG, X, p. 36, đl. 3).

d) Một tập con khác rỗng E của X được gọi là một đỉnh (đối với A) nếu tồn tại $f\in A$ sao cho $\|f\|= 1$ và E là tập hợp các $x\in X$ mà với chúng $f(x) = 1$. Khi đó có thể giả sử rằng $|f(x)|<1$ với $x\notin E$ (thay thế $f$ bởi $\frac{1}{2}(1 +f)$). Mọi giao đếm được khác rỗng của các đỉnh đều là một đỉnh. Nếu $E_1,E_2$ là các đỉnh, thì $E_1\cup E_2$ là một đỉnh. (Lấy $f_1, f_2\in A$ với $f_i= 1$ trên $E_i,|f_i|<1$ trên X - $E_i$; lấy $g_i=\frac{1}{4}(1-f_i)^{1/3}\in A$; khi đó $1-g_1g_2= 1$ trên $E_1\cup E_2,|1-g_1g_2|<1$ trên X - $(E_1\cup E_2)$.)

e) Gọi E là một giao của các đỉnh. Gọi I là tập các $f\in A$ triệt tiêu trên E. Khi đó $f\mapsto f|E$ xác định một đẳng cự của $A/I$ lên đại số $A|E$ các hạn chế lên E của các hàm trong A.

f) Gọi E là một đỉnh. Gọi $E'\subset E$ là một đỉnh đối với $A|E$. Khi đó $E'$ là một đỉnh đối với A.

g) Mọi tập con phản đối xứng của X đều là một giao của các đỉnh. (Dùng d) và f).) h) Với mọi tập con phản đối xứng K của X, đại số $A|K$ là một đại số con đóng của $\mathscr{C}(K)$. (Dùng e) và g).)

i) Gọi R là tập hợp các phần thực của các phần tử của A. Giả sử rằng $X\in \mathfrak{R}$ và R ổn định đối với phép nhân. Khi đó X thu về một điểm. (Lấy $x_0\in X$. Với $u\in R$, tồn tại duy nhất $f\in A$ sao cho $u=\mathscr{R}(f)$ và $f(x_0)\in \mathbf{R}$; đặt $N(u) =\|f\|$. Khi đó R là một không gian Banach thực đối với N; định lý đồ thị đóng chứng minh rằng phép nhân trong R là liên tục riêng rẽ, do đó liên tục. Suy ra trên $S = R +iR$ một cấu trúc đại số Banach. Lấy $p\in R$ với $p(x)>0$ với mọi $x\in X$. Bây giờ chứng minh rằng, với mọi đặc trưng $\chi$ của S, ta có $\mathscr{R}(\chi (p))>0$, và suy ra rằng log($p$)$\in R$. Giả sử $X\not=\{x_0\}$, ta có thể xây dựng một $f\in A$ sao cho $0<\mathscr{R}(f)\leqslant 1$ trên X$,f(x_0)\in \mathbf{R}$ và sao cho $\|f\|$ lớn tùy ý. Theo điều trên, tồn tại $V\in A$ với $|V|^2=\mathscr{R}(f)$. Ta có $\|V\|\leqslant 1$ do đó $N(\mathscr{R}(V))\leqslant 2$, nhưng

1

2

lớn tùy ý.)

j) Nếu R ổn định đối với phép nhân, thì $A =\mathscr{C}(X)$. (Dùng a), c), h), i).) Do đó, nếu $A\not=\mathscr{C}(X)$, tồn tại $u\in R$ sao cho $u^2\notin R$.