Exercice 11, § 8

Soit X un espace métrique, dont on note $d$ la distance. Une fonction $f: X\rightarrow \mathbf{C}$ est dite lipschitzienne si il existe un nombre réel $c\geqslant 0$ tel que, pour tout $x$ et $y$ dans X, on a

(cf. FVR, IV, p. 7, déf. 1). On note Lip$_b(X)$ l’ensemble des fonctions lipschitziennes bornées sur X.

a) L’ensemble Lip$_b(X)$ est une sous-algèbre de $\mathscr{C}(X)$.

b) Munie de la norme

$\|f\|=$ sup$_{x\in X}|f(x)|+$ sup$_{x,y\in X}\frac{|f(x) -f(y)|}{d(x, y)}$,

$x\not=y$

et de l’involution $f\mapsto \overline{f}$, l’algèbre Lip$_b(X)$ est une algèbre de Banach involutive commutative. Ce n’est pas une algèbre stellaire en général.

c) Pour toute algèbre de Banach commutative A, on note $\mathsf{X}_m(A)$ l’espace métrique $\mathsf{X}(A)$ muni de la distance induite par la norme du dual $A'$ de A. L’espace métrique $\mathsf{X}_m(A)$ est complet et de diamètre $\leqslant 2$.

d) Soit A une algèbre de Banach commutative unifère. La transformation de Gelfand applique A dans Lip$_b(\mathsf{X}_m(A))$. Si A est sans radical, alors elle induit un homéomorphisme de A sur son image.

Dans la suite, on suppose que X est un espace métrique compact. On note A = Lip$_b(X)$.

e) L’application $\varphi$ qui envoie $x\in X$ sur le caractère $f\mapsto f(x)$ est un homéomorphisme de X sur $\mathsf{X}(A)$.

f) Soit $d_1$ la distance sur X induite par l’homéomorphisme $\varphi$. Alors $d_1$ est équivalente à $d$.