Bài tập 11, § 8

Cho X là một không gian metric, có khoảng cách được ký hiệu bởi $d$. Một hàm $f: X\rightarrow \mathbf{C}$ được gọi là Lipschitz nếu tồn tại một số thực $c\geqslant 0$ sao cho, với mọi $x$ và $y$ trong X, ta có

(xem FVR, IV, p. 7, déf. 1). Ta ký hiệu bởi Lip$_b(X)$ tập hợp các hàm Lipschitz bị chặn trên X.

a) Tập hợp Lip$_b(X)$ là một đại số con của $\mathscr{C}(X)$.

b) Được trang bị chuẩn

$\|f\|=$ sup$_{x\in X}|f(x)|+$ sup$_{x,y\in X}\frac{|f(x) -f(y)|}{d(x, y)}$,

$x\not=y$

và phép đối hợp $f\mapsto \overline{f}$, đại số Lip$_b(X)$ là một đại số Banach giao hoán có phép đối hợp. Nói chung nó không phải là một đại số sao.

c) Với mọi đại số Banach giao hoán A, ta ký hiệu bởi $\mathsf{X}_m(A)$ không gian metric $\mathsf{X}(A)$ được trang bị khoảng cách cảm sinh bởi chuẩn của đối ngẫu $A'$ của A. Không gian metric $\mathsf{X}_m(A)$ là đầy đủ và có đường kính $\leqslant 2$.

d) Cho A là một đại số Banach giao hoán có đơn vị. Biến đổi Gelfand ánh xạ A vào Lip$_b(\mathsf{X}_m(A))$. Nếu A không có căn, thì nó cảm sinh một đồng phôi của A lên ảnh của nó.

Trong phần tiếp theo, ta giả sử rằng X là một không gian metric compact. Ta ký hiệu A = Lip$_b(X)$.

e) Ánh xạ $\varphi$ gửi $x\in X$ vào đặc trưng $f\mapsto f(x)$ là một đồng phôi của X lên $\mathsf{X}(A)$.

f) Gọi $d_1$ là khoảng cách trên X cảm sinh bởi đồng phôi $\varphi$. Khi đó $d_1$ tương đương với $d$.