Exercice 2, § 8

Soient X un espace topologique compact, R une relation d’équivalence séparée dans X et B une sous-algèbre fermée de $\mathscr{C}(X)$ contenant $A_R$ (notation de l’exerc. 1). Si $f\in \mathscr{C}(X)$ coïncide sur chaque classe $c$ suivant R avec un élément $g_c$ de B, alors $f\in B$. (Soit $\varepsilon >0$. Il existe un voisinage ouvert saturé $V_c$ de $c$ tel que $|f-g_c|\leqslant \varepsilon$ sur $V_c$. Soient $V_{c_1}, . . . ,V_{c_n}$ recouvrant X. Soit $(u_1, . . . , u_n)$ une partition de l’unité subordonnée à $(V_{c_1}, . . . ,V_{c_n})$ et formée de fonctions de $A_R$. Alors

et $|f-g|\leqslant \varepsilon .)$