Exercice 3, § 8

Soit X un espace topologique compact et, pour tout $x\in X$, soit $A_x$ une algèbre de Banach commutative unifère, dont on note $e_x$ l’élément unité. On suppose $\|e_x\|= 1$. Soit B l’algèbre de Banach produit des $A_x$ pour $x\in X$. Soit C une sous-algèbre de Banach de B possédant les propriétés suivantes :

(i) $e= (e_x)_{x\in X}\in C$;

(ii) Si $a= (a_x)\in C$ et $f\in \mathscr{C}(X)$, la fonction $f a:x\mapsto f(x)a_x$ est un élément de C;

(iii) Pour tout $a= (a_x)\in C$, la fonction $x\mapsto \|a_x\|$ est semi-continue supérieurement.

Soit $\widehat{X}$ l’ensemble somme des $\mathsf{X}(A_x)$. Pour tout $x_0\in X$ et $\chi \in \mathsf{X}(A_{x_0})$, soit $\varphi (\chi )$ le caractère de C défini par $\varphi (\chi )((a_x)_{x\in X}) =\chi (a_{x_0})$. Démontrer que $\varphi$ définit une bijection de $\widehat{X}$ sur $\mathsf{X}(C)$. (Soit $\xi \in \mathsf{X}(C)$. Comme $\mathscr{C}(X)$ peut être identifié à une sous-algèbre fermée de C$,\xi$ définit un caractère de $\mathscr{C}(X)$, donc un $x_0\in X$. Soient $a= (a_x)\in C$ et $b= (b_x)\in C$, avec $a_{x_0}=b_{x_0}$; soit $\varepsilon >0$ ; on a $\|a_x-b_x\|< \varepsilon$ dans un voisinage U de $x_0$; soit $f\in \mathscr{C}(X)$ telle que $0\leqslant f\leqslant 1$, égale à 1 en $x_0$ et à 0 hors de U; on a $\|f a-f b\|\leqslant \varepsilon$, d’où $|\xi (f a-f b)|\leqslant \varepsilon$, d’où $|\xi (a)-\xi (b)|\leqslant \varepsilon$, d’où $\xi (a) =\xi (b)$. En déduire qu’il existe un $\chi \in \mathsf{X}(A_{x_0})$ tel que $\xi = (\varphi (\chi ))$.)