Bài tập 3, § 8

Cho X là một không gian tôpô compact và, với mọi $x\in X$, cho $A_x$ là một đại số Banach giao hoán có đơn vị, có phần tử đơn vị được ký hiệu bởi $e_x$. Giả sử rằng $\|e_x\|= 1$. Cho B là đại số Banach tích của các $A_x$ với $x\in X$. Cho C là một đại số con Banach của B có các tính chất sau:

(i) $e= (e_x)_{x\in X}\in C$;

(ii) Nếu $a= (a_x)\in C$ và $f\in \mathscr{C}(X)$, hàm $f a:x\mapsto f(x)a_x$ là một phần tử của C;

(iii) Với mọi $a= (a_x)\in C$, hàm $x\mapsto \|a_x\|$ là nửa liên tục trên.

Cho $\widehat{X}$ là tập hợp tổng của các $\mathsf{X}(A_x)$. Với mọi $x_0\in X$ và $\chi \in \mathsf{X}(A_{x_0})$, cho $\varphi (\chi )$ là đặc trưng của C được xác định bởi $\varphi (\chi )((a_x)_{x\in X}) =\chi (a_{x_0})$. Chứng minh rằng $\varphi$ xác định một song ánh của $\widehat{X}$ lên $\mathsf{X}(C)$. (Cho $\xi \in \mathsf{X}(C)$. Vì $\mathscr{C}(X)$ có thể được đồng nhất với một đại số con đóng của C$,\xi$ xác định một đặc trưng của $\mathscr{C}(X)$, do đó một $x_0\in X$. Cho $a= (a_x)\in C$ và $b= (b_x)\in C$, với $a_{x_0}=b_{x_0}$; cho $\varepsilon >0$; ta có $\|a_x-b_x\|< \varepsilon$ trong một lân cận U của $x_0$; cho $f\in \mathscr{C}(X)$ sao cho $0\leqslant f\leqslant 1$, bằng 1 tại $x_0$ và bằng 0 bên ngoài U; ta có $\|f a-f b\|\leqslant \varepsilon$, do đó $|\xi (f a-f b)|\leqslant \varepsilon$, do đó $|\xi (a)-\xi (b)|\leqslant \varepsilon$, do đó $\xi (a) =\xi (b)$. Suy ra tồn tại một $\chi \in \mathsf{X}(A_{x_0})$ sao cho $\xi = (\varphi (\chi ))$.)