Exercice 8, § 8

Soient X un espace topologique compact et B une sous-algèbre de Banach unifère de $\mathscr{C}(X)$ (pour la norme induite), séparant les points de X. On identifie X à une partie fermée de $\mathsf{X}(B) = X'$. Soit $B^*$ l’ensemble des éléments inversibles de B. On dit que B est logmodulaire si l’ensemble des fonctions log($|f|$), pour $f\in B^*$, est dense dans $\mathscr{C}_{\mathbf{R}}(X)$. (C’est le cas, en particulier, si l’ensemble des fonctions $\mathscr{R}(f)$, pour $f\in B$, est dense dans $\mathscr{C}_{\mathbf{R}}(X)$, car log($|e^f|$) $=\mathscr{R}(f)$.) Dans la suite, on suppose que B est logmodulaire.

a) Pour tout $\chi \in X'$, il existe une unique mesure $\mu_{\chi}\geqslant 0$ sur X telle que

log($|\chi (f)|$) $=\int_X$ log($|f(\omega )|$)$d\mu_{\chi}(\omega )$ pour tout $f\in B^*$, donc telle que $\chi (f) =\int_Xf(\omega )d\mu_{\chi}(\omega )$ pour tout $f\in B$.

b) On a

log$|\chi (f)|\leqslant \int_X$ log $|f(\omega )|d\mu_{\chi}(\omega )$

pour tout $f\in B$ et la condition $\chi (f) =\int_Xf(\omega )d\mu_{\chi}(\omega )$ pour tout $f\in B$ définit $\mu_{\chi}$ de manière unique.

c) Soient $\chi \in X'$ et $\mu$ une mesure positive sur X. Écrivons $\mu=\mu_1+\mu_2$ où $\mu_1$ est de base $\mu_{\chi}$, et où $\mu_2$ et $\mu_{\chi}$ sont étrangères. Soit I le noyau de $\chi$. Alors

inf$_{f\in}\int_{IX}|1-f|^2d\mu=$ inf$_{f\in}\int_{IX}|1-f|^2d\mu_1$.

d) Soient $\chi \in X'$ et $h$ une fonction $\geqslant 0$ de $\mathscr{L}^1(\mu_{\chi})$. Soit I le noyau de $\chi$. Alors

inf$_{f\in I}\int_X|1-f|^2h d\mu_{\chi}=$ exp$(\int_X$ log($h$)$d\mu_{\chi})$.

e) Pour toute mesure positive $\mu$ sur X, et tout $p\in [1,+\infty [$, soit $H^p(\mu)$ l’adhérence de l’image canonique de B dans $L^p(\mu)$. Soient $\chi \in X'$ et I le noyau de $\chi$. Alors $L^2(\mu_{\chi})$ est somme hilbertienne de $H^2(\mu_{\chi})$ et de l’adhérence dans $L^2(\mu_{\chi})$ de l’image canonique de $\overline{I}$ (ensemble des conjuguées des fonctions appartenant à I).

f) L’espace $H^1(\mu_{\chi})$ est l’ensemble des classes $\widetilde{h}$ des $h\in \mathscr{L}^1(\mu_{\chi})$ telles que $\int_Xf h d\mu_{\chi}= 0$ pour tout $f\in I$.

g) Soit $h$ une fonction $\geqslant 0$ de $\mathscr{L}^1(\mu_{\chi})$. Alors, on a $\widetilde{h}=|\widetilde{f}|$ avec $\widetilde{f}\in H^1(\mu_{\chi})$ et $\int_Xf d\mu_{\chi}\not= 0$ si et seulement si log($h$)$\in \mathscr{L}^1(\mu_{\chi})$.