Bài tập 8, § 8

Cho X là một không gian tôpô compact và B là một đại số con Banach có đơn vị của $\mathscr{C}(X)$ (đối với chuẩn cảm sinh), tách các điểm của X. Ta đồng nhất X với một tập con đóng của $\mathsf{X}(B) = X'$. Gọi $B^*$ là tập hợp các phần tử khả nghịch của B. Người ta nói rằng B là logmodular nếu tập hợp các hàm log($|f|$), với $f\in B^*$, là trù mật trong $\mathscr{C}_{\mathbf{R}}(X)$. (Đây là trường hợp, đặc biệt, nếu tập hợp các hàm $\mathscr{R}(f)$, với $f\in B$, là trù mật trong $\mathscr{C}_{\mathbf{R}}(X)$, vì log($|e^f|$) $=\mathscr{R}(f)$.) Trong phần tiếp theo, ta giả sử rằng B là logmodular.

a) Với mọi $\chi \in X'$, tồn tại duy nhất một độ đo $\mu_{\chi}\geqslant 0$ trên X sao cho

log($|\chi (f)|$) $=\int_X$ log($|f(\omega )|$)$d\mu_{\chi}(\omega )$ với mọi $f\in B^*$, do đó sao cho $\chi (f) =\int_Xf(\omega )d\mu_{\chi}(\omega )$ với mọi $f\in B$.

b) Ta có

log$|\chi (f)|\leqslant \int_X$ log $|f(\omega )|d\mu_{\chi}(\omega )$

với mọi $f\in B$ và điều kiện $\chi (f) =\int_Xf(\omega )d\mu_{\chi}(\omega )$ với mọi $f\in B$ xác định duy nhất $\mu_{\chi}$.

c) Cho $\chi \in X'$ và $\mu$ là một độ đo dương trên X. Ta viết $\mu=\mu_1+\mu_2$ trong đó $\mu_1$ có cơ sở $\mu_{\chi}$, và trong đó $\mu_2$ và $\mu_{\chi}$ là kỳ dị tương hỗ. Gọi I là hạt nhân của $\chi$. Khi đó

inf$_{f\in}\int_{IX}|1-f|^2d\mu=$ inf$_{f\in}\int_{IX}|1-f|^2d\mu_1$.

d) Cho $\chi \in X'$ và $h$ là một hàm $\geqslant 0$ của $\mathscr{L}^1(\mu_{\chi})$. Gọi I là hạt nhân của $\chi$. Khi đó

inf$_{f\in I}\int_X|1-f|^2h d\mu_{\chi}=$ exp$(\int_X$ log($h$)$d\mu_{\chi})$.

e) Với mọi độ đo dương $\mu$ trên X, và mọi $p\in [1,+\infty [$, gọi $H^p(\mu)$ là bao đóng của ảnh chính tắc của B trong $L^p(\mu)$. Cho $\chi \in X'$ và I là hạt nhân của $\chi$. Khi đó $L^2(\mu_{\chi})$ là tổng Hilbert của $H^2(\mu_{\chi})$ và của bao đóng trong $L^2(\mu_{\chi})$ của ảnh chính tắc của $\overline{I}$ (tập hợp các hàm liên hợp của các hàm thuộc I).

f) Không gian $H^1(\mu_{\chi})$ là tập hợp các lớp $\widetilde{h}$ của các $h\in \mathscr{L}^1(\mu_{\chi})$ sao cho $\int_Xf h d\mu_{\chi}= 0$ với mọi $f\in I$.

g) Cho $h$ là một hàm $\geqslant 0$ trong $\mathscr{L}^1(\mu_{\chi})$. Khi đó ta có $\widetilde{h}=|\widetilde{f}|$ với $\widetilde{f}\in H^1(\mu_{\chi})$ và $\int_Xf d\mu_{\chi}\not= 0$ khi và chỉ khi log($h$)$\in \mathscr{L}^1(\mu_{\chi})$.