Exercice 9, § 8

Soient X un espace topologique compact et B une sous-algèbre de Banach unifère de $\mathscr{C}(X)$ (pour la norme induite). Tout élément $x$ de X définit un caractère $\chi_x$ de B. Si $x,x'$ sont dans X, on écrit $x\sim x'$ lorsque $\|\chi_x-\chi_{x'}\| \not= 2$. a) Soient $x$ et $x'$ dans X. S’il existe une suite $(f_n)$ d’éléments de B tels que $\|f_n\|\leqslant 1$, que $|f_n(x)|$ tende vers 1 et que lim inf$_{n\rightarrow \infty}|f_n(x)-f_n(x')|>0$, alors on n’a pas $x\sim x'$. (On peut supposer que $f_n(x)$ tend vers 1. Considérer $g_n= (f_n-\lambda_n)(1-\lambda_nf_n)^{-1}$, où $(\lambda_n)$ est une suite de nombres de $[0,1[$ tendant vers 1. On a $\|g_n\|\leqslant 1$. Si la suite $(\lambda_n)$ est bien choisie, $g_n(x)$ tend vers 1 et $g_n(x')$ tend vers $-1$.)

b) Soit R l’ensemble des parties réelles des éléments de B. Si $x\sim x'$, il existe $c\in ]0,1[$ tel que $f(x)\geqslant cf(x')$ et $f(x')\geqslant cf(x)$ pour tout $f\geqslant 0$ de R. (Il suffit d’obtenir la première condition ; si elle n’est pas vraie, il existe une suite $(f_n)$ dans R avec $f_n\geqslant 0,f_n(x') = 1,f_n(x)$ tendant vers 0 ; soit $g_n\in B$ avec $\mathscr{R}(g_n) =f_n$. Alors $e^{-g_n}\in B,\|e^{-g_n}\|\leqslant 1,|e^{-g_n(x')}|= 1/e,|e^{-g_n(x)}|$ tend vers 1, ce qui contredit a).)

c) Il existe des mesures positives $\alpha$ et $\beta$ sur X telles que $f(x)-cf(x') =\alpha (f)$ et $f(x')-cf(x) =\beta (f)$ pour $f\in R$. Posant $\mu_x= (1-c^2)^{-1}(c\beta +\alpha )$, $\mu_{x'}= (1-c^2)^{-1}(c\alpha +\beta )$, on a $\mu_x(f) =f(x)$ et $\mu_{x'}(f) =f(x')$ pour tout $f\in B$, et $c\mu_x\leqslant \mu_{x'},c\mu_{x'}\leqslant \mu_x$.

d) On suppose encore $x\sim x'$. Montrer que si $\mu$ est une mesure positive sur X telle que $\mu(f) =f(x)$ pour tout $f\in B$, il existe une mesure positive $\mu'$ sur X telle que $\mu'(f) =f(x')$ pour tout $f\in B$ et $c\mu\leqslant \mu'$ pour un $c\in ]0,1[$. (Avec les notations de c), poser $\mu'=\mu_{x'}-c\mu_x+c\mu.)$

e) La relation $x\sim x'$ est une relation d’équivalence dans X. (Utiliser d).)