Bài tập 9, § 8

Cho X là một không gian tôpô compact và B là một đại số con Banach có đơn vị của $\mathscr{C}(X)$ (đối với chuẩn cảm sinh). Mọi phần tử $x$ của X xác định một đặc trưng $\chi_x$ của B. Nếu $x,x'$ thuộc X, ta viết $x\sim x'$ khi $\|\chi_x-\chi_{x'}\| \not= 2$. a) Cho $x$ và $x'$ thuộc X. Nếu tồn tại một dãy $(f_n)$ các phần tử của B sao cho $\|f_n\|\leqslant 1$, sao cho $|f_n(x)|$ tiến tới 1 và sao cho lim inf$_{n\rightarrow \infty}|f_n(x)-f_n(x')|>0$, thì không có $x\sim x'$. (Có thể giả sử rằng $f_n(x)$ tiến tới 1. Xét $g_n= (f_n-\lambda_n)(1-\lambda_nf_n)^{-1}$, trong đó $(\lambda_n)$ là một dãy các số thuộc $[0,1[$ tiến tới 1. Ta có $\|g_n\|\leqslant 1$. Nếu dãy $(\lambda_n)$ được chọn thích hợp, $g_n(x)$ tiến tới 1 và $g_n(x')$ tiến tới $-1$.)

b) Gọi R là tập hợp các phần thực của các phần tử của B. Nếu $x\sim x'$, tồn tại $c\in ]0,1[$ sao cho $f(x)\geqslant cf(x')$ và $f(x')\geqslant cf(x)$ với mọi $f\geqslant 0$ trong R. (Chỉ cần thu được điều kiện thứ nhất; nếu điều đó không đúng, tồn tại một dãy $(f_n)$ trong R với $f_n\geqslant 0,f_n(x') = 1,f_n(x)$ tiến tới 0; lấy $g_n\in B$ với $\mathscr{R}(g_n) =f_n$. Khi đó $e^{-g_n}\in B,\|e^{-g_n}\|\leqslant 1,|e^{-g_n(x')}|= 1/e,|e^{-g_n(x)}|$ tiến tới 1, điều này mâu thuẫn với a).)

c) Tồn tại các độ đo dương $\alpha$ và $\beta$ trên X sao cho $f(x)-cf(x') =\alpha (f)$ và $f(x')-cf(x) =\beta (f)$ với $f\in R$. Đặt $\mu_x= (1-c^2)^{-1}(c\beta +\alpha )$, $\mu_{x'}= (1-c^2)^{-1}(c\alpha +\beta )$, ta có $\mu_x(f) =f(x)$ và $\mu_{x'}(f) =f(x')$ với mọi $f\in B$, và $c\mu_x\leqslant \mu_{x'},c\mu_{x'}\leqslant \mu_x$.

d) Giả sử lại rằng $x\sim x'$. Chứng minh rằng nếu $\mu$ là một độ đo dương trên X sao cho $\mu(f) =f(x)$ với mọi $f\in B$, thì tồn tại một độ đo dương $\mu'$ trên X sao cho $\mu'(f) =f(x')$ với mọi $f\in B$ và $c\mu\leqslant \mu'$ với một $c\in ]0,1[$. (Với ký hiệu của c), đặt $\mu'=\mu_{x'}-c\mu_x+c\mu$.)

e) Quan hệ $x\sim x'$ là một quan hệ tương đương trong X. (Dùng d).