Exercice 1, § 1

a) Soient $\omega , p, q\in \mathbf{R}$ avec $p\leqslant q$. On pose $f(x) =e^{i\omega x}$ pour $p\leqslant x\leqslant q$, $f(x) = 0$ pour $x > q$ ou $x < p$. Alors pour $y\in \mathbf{R}$, on a

b) Soient $\omega \in \mathbf{R},\beta >0$. On pose $f(x) =e^{(-\beta+i\omega)x}$ pour $x\geqslant 0,f(x) = 0$ pour $x <0$. Alors pour $y\in \mathbf{R}$, on a

c) Soit $a >0$. On pose $f(x) =\frac{1}{a}e^{-a|x|}$ pour $x\in \mathbf{R}$. Alors pour $y\in \mathbf{R}$, on a

d) On pose $f(x) =e^{-\pi x^2}$ pour $x\in \mathbf{R}$. Alors pour $y\in \mathbf{R}$, on a $\mathscr{F}(f)(y) =$ $e^{-\pi y^2}$. (Trouver une équation différentielle linéaire du premier ordre satisfaite

par la transformée de Fourier de $f$, et utiliser la formule $\int_0^{+\infty}e^{-t^2}dt=\frac{1}{2}\sqrt{\pi}$ de FVR, VII, §1, n$^o3.)$

e) Soit $n\in \mathbf{N}$ et soit Q une forme quadratique définie positive sur $\mathbf{R}^n$. Soit $\sigma$ une application linéaire sur $\mathbf{R}^n$ telle que $Q(x) =\|\sigma (x)\|^2$. Soit $Q^*$ la forme quadratique définie positive telle que $Q^*(y) =\|^t\sigma^{-1}(y)\|^2$ pour tout $y\in \mathbf{R}^n$. Soit $z\in \mathbf{C}$ un nombre complexe tel que $\mathscr{I}(z)>0$. La fonction $f$ de $\mathbf{R}^n$ dans $\mathbf{C}$ définie par $f(x) =$ exp($i\pi zQ(x)$) appartient à $\mathscr{S}(\mathbf{R}^n)$ et on a

pour tout $y\in \mathbf{R}^n$.

f) Soit $f\in \mathscr{C}(\mathbf{R})$ la fonction définie par $f(x) =$ (sin($\pi x$)$/(\pi x)$)$^2$ pour $x\not= 0$ et $f(0) = 1$. On a $\mathscr{F}(f)(y) = 0$ si $|y|>1$ et $\mathscr{F}(f)(y) = 1- |y|$ sinon. Soit $g(x) =xf(x)$. On a $\mathscr{F}(g)(y) = 0$ si $|y|>1$ et $\mathscr{F}(g)(y) =$ s($y$)$/(2i\pi )$ sinon.