Bài tập 1, § 1

a) Cho $\omega , p, q\in \mathbf{R}$ với $p\leqslant q$. Đặt $f(x) =e^{i\omega x}$ với $p\leqslant x\leqslant q$, $f(x) = 0$ với $x > q$ hoặc $x < p$. Khi đó với $y\in \mathbf{R}$, ta có

b) Cho $\omega \in \mathbf{R},\beta >0$. Đặt $f(x) =e^{(-\beta+i\omega)x}$ với $x\geqslant 0,f(x) = 0$ với $x <0$. Khi đó với $y\in \mathbf{R}$, ta có

c) Cho $a >0$. Đặt $f(x) =\frac{1}{a}e^{-a|x|}$ với $x\in \mathbf{R}$. Khi đó với $y\in \mathbf{R}$, ta có

d) Đặt $f(x) =e^{-\pi x^2}$ với $x\in \mathbf{R}$. Khi đó với $y\in \mathbf{R}$, ta có $\mathscr{F}(f)(y) =$ $e^{-\pi y^2}$. (Hãy tìm một phương trình vi phân tuyến tính cấp một được thỏa mãn

bởi biến đổi Fourier của $f$, và dùng công thức $\int_0^{+\infty}e^{-t^2}dt=\frac{1}{2}\sqrt{\pi}$ của FVR, VII, §1, No.$^o3.)$

e) Cho $n\in \mathbf{N}$ và cho Q là một dạng toàn phương xác định dương trên $\mathbf{R}^n$. Cho $\sigma$ là một ánh xạ tuyến tính trên $\mathbf{R}^n$ sao cho $Q(x) =\|\sigma (x)\|^2$. Cho $Q^*$ là dạng toàn phương xác định dương sao cho $Q^*(y) =\|^t\sigma^{-1}(y)\|^2$ với mọi $y\in \mathbf{R}^n$. Cho $z\in \mathbf{C}$ là một số phức sao cho $\mathscr{I}(z)>0$. Ánh xạ $f$ từ $\mathbf{R}^n$ vào $\mathbf{C}$ được xác định bởi $f(x) =$ exp($i\pi zQ(x)$) thuộc $\mathscr{S}(\mathbf{R}^n)$ và ta có

với mọi $y\in \mathbf{R}^n$.

f) Cho $f\in \mathscr{C}(\mathbf{R})$ là hàm được xác định bởi $f(x) =$ (sin($\pi x$)$/(\pi x)$)$^2$ với $x\not= 0$ và $f(0) = 1$. Ta có $\mathscr{F}(f)(y) = 0$ nếu $|y|>1$ và $\mathscr{F}(f)(y) = 1- |y|$ nếu không. Đặt $g(x) =xf(x)$. Ta có $\mathscr{F}(g)(y) = 0$ nếu $|y|>1$ và $\mathscr{F}(g)(y) =$ s($y$)$/(2i\pi )$ nếu không.