Theo INT, VIII, §3, No$^o3$, Mệnh đề 11, ánh xạ $\mu\mapsto \chi (\mu)$ là một đặc trưng của đại số Banach có đối hợp $\mathscr{M}^1(G)$. Hơn nữa, ta có:

và do đó đặc trưng này là Hermit.

Như vậy ta đã xác định một ánh xạ từ $\widehat{G}$ vào $\mathsf{X}(\mathscr{M}^1(G))$; nó sẽ được gọi là chính tắc.

Cho $\chi \in \widehat{G}$. Hạn chế của $\mu\mapsto \chi (\mu)$ lên $L^1(G)$ là khác không (xem INT, VIII, §2, No$^o7$, Mệnh đề 10). Bởi sự hạn chế lên đại số con Banach có đối hợp $L^1(G)$, do đó ta thu được một ánh xạ từ $\widehat{G}$ vào $\mathsf{X}(L^1(G))$, gọi là chính tắc. Nó gán cho $\chi \in \widehat{G}$ đặc trưng Hermit

của $L^1(G)$.

Ta ký hiệu ánh xạ chính tắc này bởi ev và, với $\chi \in \widehat{G}$, ta ký hiệu bởi ev$_{\chi}$ ảnh của đặc trưng $\chi$ dưới ev, nghĩa là đặc trưng Hermit $f\mapsto \chi (f)$ của $L^1(G)$. Xét như một ánh xạ từ $\widehat{G}$ vào đối ngẫu của $L^1(G)$, ánh xạ ev là hợp thành của đơn ánh từ $\widehat{G}$ vào $L^{\infty}(G)$, được trang bị tôpô yếu $\sigma (L^{\infty}(G),L^1(G))$, và đơn ánh từ $L^{\infty}(G)$ vào đối ngẫu của $L^1(G)$, được trang bị tôpô hội tụ đơn giản. Vì $\widehat{G}$ là một tập con bị chặn của $L^{\infty}(G)$, ánh xạ thứ nhất là liên tục theo định lý Lebesgue (INT, IV, §3, No$^o7$, Định lý 6). Ánh xạ thứ hai cũng liên tục, theo định nghĩa. Điều này chứng minh rằng ánh xạ ev là liên tục.

Nếu $\chi \in \widehat{G}$ và nếu $f\in L^1(G)$, ta có ev$_{\chi}(\varepsilon_x*f) =\chi (x$)ev$_{\chi}(f)$. Lấy $f$ sao cho ev$_{\chi}(f)\not= 0$, ta suy ra rằng ánh xạ ev là đơn ánh.

Cho $\zeta \in \mathsf{X}(L^1(G))$ và cho $f\in L^1(G)$ sao cho $\zeta (f)\not= 0$. Định nghĩa một ánh xạ $\chi : G\rightarrow \mathbf{C}$ bằng cách đặt, với $x\in G$:

Ta có $\chi (e) = 1$. Vì ánh xạ $x\mapsto \varepsilon_x*f=\boldsymbol{\gamma }(x)(f)$ từ G vào $L^1(G)$ là liên tục (INT, VIII, §2, n$^o5$, mệnh đề 8), ánh xạ $\chi$ là liên tục. Nó bị chặn vì, với mọi $x\in G$, ta có

(Định lý 1 của I, p. 29 và INT, VIII, loc. cit.).

Bây giờ cho $\mathfrak{B}$ là một cơ sở của bộ lọc các lân cận của $e$ gồm các lân cận compact. Với mọi $V\in \mathfrak{B}$, cho $g_V$ là một hàm liên tục dương, bằng không ngoài V và có tích phân bằng 1 (Bổ đề 1 của II, p. 200). Khi đó, với mọi hàm $h\in L^1(G)$, ta có

$\varepsilon_x*h=$ lim$_{V,\mathfrak{B}}(\varepsilon_x*h)*g_V=$ lim$_{V,\mathfrak{B}}(\varepsilon_x*g_V*h)$,

trong $L^1(G)$, giới hạn được lấy theo bộ lọc các thiết diện của $\mathfrak{B}$ (INT, VIII, §4, n$^o7$, mệnh đề 20). Đặc biệt, vì $\zeta (\varepsilon_x*g_V*f) =$ $\zeta (\varepsilon_x*g_V)\zeta (f)$, suy ra rằng

$\chi (x) =$ lim$_{V,\mathfrak{B}}\zeta (\varepsilon_x*g_V)$.

Với mọi $h\in L^1(G)$, ta thu được

$\zeta (\varepsilon_x*h) =$ lim$_{V,\mathfrak{B}}\zeta (\varepsilon_x*g_V*h) =\zeta (h)$ lim$_{V,\mathfrak{B}}\zeta (\varepsilon_x*g_V) =\chi (x)\zeta (h)$.

Do đó, với $x, y\in G$ ta có:

điều này chứng minh rằng $\chi$ là một đồng cấu từ G vào $\mathbf{C}^*$. Vì $\chi$ bị chặn và liên tục, nó là một đặc trưng unita của G. Hơn nữa, nếu $g\in L^1(G)$, ta có

trong $L^1(G)$ (INT, VIII, §1, n$^o5$, mệnh đề 7), do đó

$=\zeta (f)\int_G\chi (x)g(x)dx=$ ev$_{\chi}(g)\zeta (f)$ (INT, VI, §1, n$^o1$, mệnh đề 1), điều này cho thấy rằng $\zeta =$ ev$_{\chi}$. Do đó, ev là toàn ánh, nên song ánh.

Sau hết, hãy chỉ ra rằng ánh xạ ngược ev$^{-1}$ là liên tục. Cho $\zeta \in \mathsf{X}(L^1(G))$. Cho $f\in L^1(G)$ là một hàm sao cho $\zeta (f)\not= 0$. Tập W các $\xi \in \mathsf{X}(L^1(G))$ sao cho $\xi (f)\not= 0$ là một lân cận mở của $\zeta$ trong $\mathsf{X}(L^1(G))$. Với mọi $\xi \in W$, điều trước đó cho thấy rằng ev$^{-1}(\xi )$ là đặc trưng

Cho $\mathfrak{F}$ là một bộ lọc trên $W\subset \mathsf{X}(L^1(G))$ hội tụ đến $\zeta$. Vì tập $\mathsf{X}(L^1(G))$ bị chặn, do đó đồng liên tục, trong $L^{\infty}(G)$, cấu trúc đều của hội tụ đơn giản trùng với cấu trúc đều của hội tụ compắc (TG, X, p. 16, Định lý 1). Cho K là một tập con compắc của G. Tập hợp các $\varepsilon_x*f$ với $x\in K$ là compắc trong $L^1(G)$ (INT, VIII, §2, No.$^o5$, Mệnh đề 8). Do đó ta có

lim$_{\xi ,\mathfrak{F}}\xi (\varepsilon_x*f) =\zeta (\varepsilon_x*f)$

đều theo $x\in K$. Suy ra

lim$_{\xi ,\mathfrak{F}}$ ev$^{-1}(\xi ) =$ ev$^{-1}(\zeta )$,

do đó ev$^{-1}$ liên tục tại $\zeta$. Điều này hoàn tất chứng minh của mệnh đề.

Từ đây về sau ta sẽ đồng nhất một đặc trưng unita $\chi$ của G với đặc trưng $f\mapsto \int_Gf(x)\chi (x)dx$ của $L^1(G)$.

Mệnh đề thứ nhất suy ra từ Mệnh đề 1 và Bổ đề 1 bằng cách hạn chế vào $L^1(G)$. Mệnh đề thứ hai suy ra từ mệnh đề thứ nhất và từ hệ quả của Mệnh đề 20 của I, p. 124.

Thật vậy, $\mathsf{X}(L^1(G))$ là địa phương compắc (hệ quả của Định lý 1 của I, p. 29).

Ta sẽ đồng nhất $\widehat{G}$ với $\mathsf{X}(L^1(G))$ và $\mathsf{X}$(Stell(G)). Với $x\in G$ và $\chi \in \widehat{G}$, ta sẽ ký hiệu bởi $\langle \chi , x\rangle$ số phức $\chi (x)$, thuộc $\mathbf{U}$.

Ta nói rằng $x$ và $\chi$ trực giao nếu $\langle \chi , x\rangle = 1$. Cho A là một tập con của G (resp. của $\widehat{G}$); tập hợp các phần tử của $\widehat{G}$ (resp. của G) trực giao với A là một nhóm con đóng của $\widehat{G}$ (resp. của G), được gọi là trực giao của A và được ký hiệu bởi $A^{\bot}$. Trực giao của G thu về $e$.

Với $x\in G$, ký hiệu $\eta (x)$ là ánh xạ từ $\widehat{G}$ vào $\mathbf{U}$ được xác định bởi $\chi \mapsto$ $\langle \chi , x\rangle$. Theo định nghĩa của phép nhân trong $\widehat{G}$, ánh xạ $\eta (x)$ là một đồng cấu nhóm. Nó liên tục vì ánh xạ $(x, \chi )\mapsto \langle \chi , x\rangle$ từ $G\times \widehat{G}$ vào $\mathbf{U}$ là liên tục (TG, X, p. 28, th. 3). Như vậy ta đã xác định được một ánh xạ $\eta$, gọi là chính tắc, từ G vào nhóm đối ngẫu kép $\widehat{\widehat{G}}$; đó là một đồng cấu nhóm. Hơn nữa, ánh xạ $\eta$ là liên tục (TG, X, p. 28, th. 3). Ta sẽ chứng minh sau (II, p. 220, th. 2) rằng $\eta$ là một đẳng cấu nhóm từ G lên $\widehat{\widehat{G}}$.

Cho G và H là các nhóm giao hoán địa phương compact, và cho $\varphi : G\rightarrow H$ là một cấu xạ của các nhóm tôpô. Với mọi $\chi \in \widehat{H}$, ánh xạ $\chi \circ \varphi$ là một đặc trưng của G, được ký hiệu bởi $\widehat{\varphi}(\chi )$. Định nghĩa này được biểu diễn bởi công thức

với mọi $\chi \in \widehat{H}$ và mọi $x\in G$. Suy ra rằng $\widehat{\varphi}$ là một cấu xạ từ nhóm tôpô $\widehat{H}$ vào nhóm tôpô $\widehat{G}$; người ta nói rằng $\widehat{\varphi}$ là đối ngẫu của cấu xạ $\varphi$.

Cho K là một nhóm giao hoán địa phương compact và cho $\psi : H\rightarrow K$ là một cấu xạ của các nhóm tôpô. Định nghĩa cho thấy rằng $\widehat{\psi}\circ \varphi =\widehat{\varphi}\circ \widehat{\psi}$. Nếu $\varphi$ là ánh xạ đồng nhất của G, thì $\widehat{\varphi}$ là ánh xạ đồng nhất của $\widehat{G}$. Đặc biệt, nếu $\varphi$ là một đẳng cấu nhóm, thì $\widehat{\varphi}$ cũng vậy, và $\widehat{\varphi}^{-1}$ là đối ngẫu của $\varphi^{-1}$.

Theo định nghĩa, ta có $\chi \in$ Ker($\widehat{f}$) khi và chỉ khi hạn chế của $\chi$ trên ảnh của $f$ là tầm thường.

Cho $m$ là ánh xạ tích của $\widehat{G}^n$ vào $\widehat{G}$, và với mọi $j$ sao cho $1\leqslant j\leqslant n$, cho $\pi_j$ là phép chiếu của G lên $G_j$. Cho $\mu$ là cấu xạ của các nhóm tôpô $m\circ (\widehat{\pi}_j)_j$ từ $\prod\widehat{G}_j$ vào $\widehat{G}$, sao cho

Ánh xạ $\mu$ là liên tục, và người ta kiểm tra rằng $\mu$ và $(\widehat{\lambda}_j)$ là các song ánh nghịch đảo của nhau. Mệnh đề được suy ra.

Cho $\mu\in \mathscr{M}^1(G)$. Với mọi $\chi \in \widehat{G}$, ta có

do đó biến đổi Fourier của $\mu$ là bị chặn. Tương tự, người ta kiểm tra rằng $\overline{\mathscr{F}}(\mu)$ là bị chặn.

Nếu $\chi$ tiến tới $\chi_0$ trong $\widehat{G}$, thì hàm $\chi$ trên G tiến tới $\chi_0$ đều trên mọi compact đồng thời vẫn bị chặn bởi hàm hằng 1 thuộc $L^1(G, \mu)$. Theo định lý Lebesgue (INT, IV, §3, n$^o7$, th. 6), suy ra $\mathscr{F}(\mu)(\chi )$ tiến tới $\mathscr{F}(\mu)(\chi_0)$. Do đó $\mathscr{F}(\mu)$ là liên tục. Điều tương tự cũng đúng với $\overline{\mathscr{F}}(\mu)$.

Với mọi $\chi \in \widehat{G}$, ánh xạ $\mu\mapsto \chi (\mu) =\int\langle \chi , x\rangle d\mu(x)$ là một đặc trưng Hermit của $\mathscr{M}^1(G)$ (Bổ đề 1 của II, p. 202). Điều này suy ra rằng $\mathscr{F}$ và $\overline{\mathscr{F}}$ là các cấu xạ của các đại số có phép đối hợp từ $\mathscr{M}^1(G)$ vào đại số có phép đối hợp của các hàm liên tục bị chặn trên $\widehat{G}$. Bất đẳng thức (7) chứng minh rằng các cấu xạ này là liên tục.

Biến đổi Fourier của G (tương ứng, đối biến đổi Fourier của G) là ánh xạ $\mu\mapsto \mathscr{F}_G(\mu)$ (tương ứng, ánh xạ $\mu\mapsto$ $\overline{\mathscr{F}}_G(\mu)$) từ $\mathscr{M}^1(G)$ vào $\mathscr{C}_b(\widehat{G})$.

Hãy chú ý một số công thức hữu ích đối với $\mu\in \mathscr{M}^1(G),x\in G$ và $\chi \in \widehat{G}:$

(10)

(đặc biệt $\mathscr{F}(\varepsilon_e) =\overline{\mathscr{F}}(\varepsilon_e) = 1$),

(11)

(12)

Các công thức (8), (9), (10) và (11) suy ra từ các định nghĩa. Hãy chứng minh công thức thứ nhất trong (12), công thức thứ hai là tương tự. Với mọi $\xi$ trong $\widehat{G}$ ta có các đẳng thức

Hơn nữa, hãy chú ý rằng với mọi $\chi \in \widehat{G}$ và mọi độ đo $\mu$ và $\nu$ trong $\mathscr{M}^1(G)$, ta có

vì hai vế của đẳng thức này là các hàm trên $\widehat{G}$ mà giá trị tại $\xi \in \widehat{G}$ là

Cho H là một nhóm giao hoán compact địa phương và $\varphi : G\rightarrow H$ là một cấu xạ liên tục. Cho $\mu\in \mathscr{M}^1(G)$. Độ đo ảnh $\varphi (\mu)$ được định nghĩa (INT, V, §6, n$^o1$, nhận xét 1), và ta được $\mathscr{F}_H(\varphi (\mu)) =\mathscr{F}_G(\mu)\circ$ $\widehat{\varphi}($xem INT, V, §6, n$^o4$, mệnh đề 7).

Bằng cách hạn chế lên đại số con $L^1(G)$ của $\mathscr{M}^1(G)$, ta thu được định nghĩa của biến đổi Fourier và của đối biến đổi Fourier trên $L^1(G)$. Do đó, với $f\in L^1(G)$ và $\chi \in \widehat{G}:$

Đặc biệt, $\mathscr{F}_G(f) =\overline{\overline{\mathscr{F}}_G(\overline{f})}$. Ta cũng có

với mọi $f\in L^1(G)$ và mọi $\chi \in \widehat{G}$.

Cho $\sigma$ là một tự đẳng cấu của G và Δ là môđun của $\sigma$ (INT, VII, §1, n$^o4$, định nghĩa 4). Với $f\in L^1(G)$, ta có

(xem chỗ đã dẫn, công thức (31)).

Nếu đồng nhất $\widehat{G}$ với $\mathsf{X}(L^1(G))$ (mệnh đề 1 của II, p. 202), thì đối biến đổi Fourier không là gì khác ngoài biến đổi Gelfand của đại số Banach $L^1(G)$ (I, p. 7, định nghĩa 5).

Đối biến đổi Fourier là một cấu xạ của các đại số có đối hợp của $L^1(G)$ vào đại số các hàm liên tục bị chặn trên $\widehat{G}$ (mệnh đề 3). Vì nó đồng nhất với biến đổi Gelfand, ảnh của nó được chứa trong $\mathscr{C}_0(\widehat{G})$ (I, p. 37, mệnh đề 5), và hạt nhân của nó là căn của $L^1(G)$ (mệnh đề 8 của I, p. 38), căn này bằng không (hệ quả của mệnh đề 22 của I, p. 126).

Ta sẽ thấy về sau (hệ quả của mệnh đề 13 của II, p. 221) rằng đối biến đổi Fourier trên $\mathscr{M}^1(G)$ cũng là đơn ánh.

Đối biến đổi Fourier mở rộng bởi tính liên tục thành một cấu xạ đại số sao từ Stell(G) vào $\mathscr{C}_0(\widehat{G})$. Nếu đồng nhất $\widehat{G}$ với $\mathsf{X}$(Stell(G)) (hệ quả 1 của II, p. 204 và mệnh đề 1 của II, p. 202), thì phép mở rộng này là biến đổi Gelfand của Stell(G). Theo định lý 1 của I, p. 108, nó là một đẳng cấu. Mệnh đề liên quan đến biến đổi Fourier suy ra từ điều này.

Ta sẽ luôn ký hiệu bởi $\overline{\mathscr{F}}$ và $\mathscr{F}$ các đẳng cấu của mệnh đề 5.

Vì $L^1(G)$ là trù mật trong Stell(G), điều này suy ra từ mệnh đề 5.

Cho $\chi \in \widehat{G}$. Vì $\varepsilon_y*dx=dx$ với mọi $y\in G$, ta có

theo công thức (11). Nếu $\chi \not= 1$, tồn tại $y\in G$ sao cho $\langle \chi , y\rangle \not= 1$, do đó $\mathscr{F}(dx)(\chi ) = 0$. Nếu $\chi = 1$, thì $\mathscr{F}(dx)(\chi ) =\int_Gdx= 1$ vì độ đo $dx$ là chuẩn hóa.

Cho $f\in L^1(G)$. Với mọi $g\in L^2(G)$, ta có $f*g\in L^1(G)$ (INT, VIII, §4, n$^o5$, mệnh đề 12). Do đó, không gian $L^1(G)\cap L^2(G)$ là một iđêan của $L^1(G)$, và điều tương tự cũng đúng với không gian A(G). Iđêan A(G) là tự liên hợp.

Cho $f$ và $g$ thuộc $L^2(G)$. Khi đó tích chập $f*g$ là lớp của hàm liên tục cho bởi

(INT, VIII, §4, n$^o5$, mệnh đề 15). Mệnh đề thứ hai suy ra từ đó.

Vì $\chi (f*g) = (\chi f)*(\chi g)$ với $\chi \in \widehat{G},f\in L^1(G)$ và $g\in L^1(G)$ (INT, VIII, §3, No.$^o1$, prop. 6), nên $\chi h\in A(G)$ với mọi $h\in A(G)$ và $\chi \in \widehat{G}$. Vì $\varepsilon_x*f=\boldsymbol{\gamma }(x)f$ và biểu diễn tuyến tính $\boldsymbol{\gamma }$ là đẳng cự trên $L^p(G)$ với mọi $p$ (INT, VIII, §2, No.$^o5$, prop. 8), nên $\varepsilon_x*f\in A(G)$ với mọi $x\in G$ và $f\in A(G)$.

Ta ký hiệu bởi $\widehat{A}(G)$ ảnh của A(G) dưới phép biến đổi Fourier. Đó là một không gian con của $\mathscr{C}_0(\widehat{G})$.

(i) Với mọi phần tử $\varphi$ của một tập hợp thuộc $\mathfrak{B}$, ta có $\|\varphi \|_1= 1$ và $\|\mathscr{F}(\varphi )\|_{\infty}\leqslant 1$ ;

(ii) Ta có

lim$_{\varphi ,\mathfrak{B}}\varphi \cdot dx=\varepsilon_e$

trong không gian $\mathscr{C}'(G)$ các độ đo có giá compắc trên G được trang bị tôpô hội tụ đều trên các phần compắc của $\mathscr{C}(G)$ ;

(iii) Ta có

lim$_{\varphi ,\mathfrak{B}}\mathscr{F}(\varphi ) = 1$

đối với tôpô hội tụ compắc trên $\widehat{G}$;

(iv) Với $p= 1$ hoặc $p= 2$, và với mọi $f\in L^p(G)$, ta có $\varphi *f\in$ A(G) với mọi $\varphi$ thuộc một tập hợp của $\mathfrak{B}$ và

lim$_{\varphi ,\mathfrak{B}}\varphi *f=f$

trong $L^p(G)$.

Cho $K_0$ là một lân cận compắc cố định của $e$ trong G. Cho $\mathfrak{B}_0$ là một cơ sở của bộ lọc các lân cận của $e$ trong G gồm các lân cận compắc đối xứng được chứa trong $K_0$ (xem TG, III, p. 4). Với K $\in \mathfrak{B}_0$, gọi $X'_K$ là tập hợp các hàm $\psi \in \mathscr{K}_+(G)$ sao cho Supp$(\psi )\subset K$ và $\int\psi (x)dx= 1$ ; nó khác rỗng (bổ đề 1 của II, p. 200). Gọi $X_K$ là tập hợp các hàm $\psi *\psi$ với $\psi \in X'_K$. Nó khác rỗng và được chứa trong $A(G)\cap \mathscr{K}_+(G)$. Tập hợp $\mathfrak{B}$ mà các phần tử là các tập hợp $X_K$ khi K thay đổi trong $\mathfrak{B}_0$ là một cơ sở lọc trên $A(G)\cap \mathscr{K}_+(G)$. Ta sẽ chứng minh rằng $\mathfrak{B}$ thỏa mãn các tính chất đã yêu cầu.

Nếu $X\in \mathfrak{B}$ và $\varphi \in X$, ta có $\|\varphi \|_1=\int_G\varphi (x)dx= 1$, do đó $\|\mathscr{F}(\varphi )\|_{\infty}\leqslant 1$, điều này thiết lập tính chất (i).

Tính chất (ii) suy ra từ INT, VIII, § 2, No.$^o7$, Hệ quả 1 của Bổ đề 4. Một tập con compact của $\widehat{G}$ là một tập con compact của $\mathscr{C}(G)$, do đó (ii) kéo theo lim$_{\varphi ,\mathfrak{B}}\mathscr{F}(\varphi ) = 1$ đối với tôpô hội tụ compact trên $\widehat{G}$, tức là, (iii).

Sau cùng, cho $p= 1$ hoặc $p= 2$. Cho $f\in L^p(G)$. Ta có $\varphi *f\rightarrow f$ trong $L^p(G)$ đối với bộ lọc $\mathfrak{B}$ (INT, VIII, §4, n$^o7$, mệnh đề 20). Hơn nữa, với mọi K trong $\mathfrak{B}_0$ và $\varphi \in X_K$, tồn tại $\psi \in X'_K$ sao cho $\varphi =\psi *\psi$, do đó $\varphi *f=\psi *(\psi *f)$. Ta có $\psi \in L^1(G)\cap L^2(G)$ và $\psi *f\in L^1(G)\cap L^2(G)$, vì thế $\varphi *f\in A(G)$.

Mệnh đề (iv) của mệnh đề cho khẳng định thứ nhất. Vì $L^1(G)$ trù mật trong Stell(G), khẳng định thứ hai suy ra từ đó, và khi ấy khẳng định cuối cùng suy ra từ Mệnh đề 5 của II, p. 209.

Điều này suy ra từ hệ quả trên vì, với mọi $\chi \in \widehat{G}$, ánh xạ $f\mapsto \mathscr{F}(f)(\chi )$ là một đặc trưng khác không của $L^1(G)$.

Nhớ lại rằng biểu diễn chính quy trái $\boldsymbol{\gamma }$ của Stell(G) trên $L^2(G)$ (x. I, p. 125, n$^o13$) được ký hiệu bởi $\boldsymbol{\gamma }(\varphi )f$ = $\varphi *f$ với $\varphi \in$ Stell(G) và $f\in L^2(G)$.

Hơn nữa, với mọi $f$ và $g$ trong A(G), ta có đẳng thức

giữa độ đo có mật độ $\mathscr{F}(f)$ đối với $\mu_g$ và độ đo có mật độ $\mathscr{F}(g)$ đối với $\mu_f$.

Cho $f,g$ là các phần tử của $L^1(G)\cap L^2(G)$. Với mọi $\varphi \in$ Stell(G), ta có $\varphi *f\in L^2(G)$ và $\|\varphi *f\|_2\leqslant \|\varphi \|_*\|f\|_2($I, p. 126, công thức (8)). Hơn nữa, ta có $\varphi *(f*g) = (\varphi *f)*g($loc. cit., công thức (9)). Hàm sau này thuộc bao đóng $\mathscr{C}_0(G)$ của $\mathscr{K}(G)$ trong $\mathscr{C}(G)$ (INT, VIII, §4, n$^o5$, mệnh đề 15). Hơn nữa, ta có

Vì các hàm $f*g$ với $f$ và $g$ trong $L^1(G)\cap L^2(G)$ sinh ra A(G), suy ra rằng $\varphi *f\in \mathscr{C}_0(G)$ với mọi $f\in A(G)$ và $\varphi \in$ Stell(G), và ánh xạ $\varphi \mapsto (\varphi *f)(e)$ là một dạng tuyến tính liên tục trên Stell(G). Vì $\mathscr{F}$ là một đẳng cấu từ Stell(G) lên $\mathscr{C}_0(\widehat{G})$ (mệnh đề 5 của II, p. 209), mệnh đề thứ nhất được suy ra.

Bây giờ cho $f$ và $g$ thuộc A(G). Với $\varphi \in L^1(G)$, ta có

Vì $(\varphi *f)*g= (\varphi *g)*f$ và vì ảnh của $L^1(G)$ dưới phép biến đổi Fourier là trù mật trong $\mathscr{C}_0(\widehat{G})$ (hệ quả của II, p. 210), từ công thức (19) suy ra rằng công thức (18) được thỏa mãn với mọi $f$ và $g$ trong A(G).