Exercice 12, § 1

Soit $(G_i)_{i\in I}$ une famille de groupes commutatifs localement compacts. Pour tout $i\in I$, soit $H_i$ un sous-groupe ouvert compact de $G_i$. Soit G le produit direct local des $G_i$ relativement aux $H_i$ (TG, III, p. 71, exerc. 26) ; il est localement compact. Pour tout $\chi \in \widehat{G}$, soit $\chi_i$ la restriction de $\chi$ à $G_i$. Montrer que $\chi \mapsto (\chi_i)_{i\in I}$ est un isomorphisme du groupe topologique $\widehat{G}$ sur le produit direct local des $\widehat{G}_i$ relativement aux $H^{\bot}_i$.