Exercice 14, § 1

a) L’espace $L^1(G)$ est un idéal fermé dans $\mathscr{M}^1(G)$, donc $\widehat{G}$ s’identifie à une partie ouverte de $\mathsf{X}(\mathscr{M}^1(G))$ (cf. exercice 17 de I, p. 169).

b) Soit $\mathscr{M}_d(G)$ (resp. $\mathscr{M}_a(G)$) l’ensemble des $\mu\in \mathscr{M}^1(G)$ qui sont diffuses (resp. atomiques). Alors $\mathscr{M}_d(G)$ est un idéal fermé de $\mathscr{M}^1(G)$ et $\mathscr{M}_a(G)$ est une sous-algèbre fermée de $\mathscr{M}^1(G)$.