Exercice 16, § 1

Pour tout nombre complexe $s$ tel que $\mathscr{R}(s)>1$, on note

$n\geqslant 1$ (« fonction zêta de Riemann »).

a) La fonction $\zeta$ est holomorphe sur l’ouvert de $\mathbf{C}$ formé des nombres complexes $s$ tels que $\mathscr{R}(s)>1$.

b) Pour $y\in \mathbf{R}_+^*$, notons

cette série converge absolument et uniformément sur les compacts de $\mathbf{R}_+^*$. Pour tout $s$ tel que $\mathscr{R}(s)>1$, on a

(voir FVR, VII, p. 10 pour la fonction gamma dans le plan complexe).

c) Pour tout $y\in \mathbf{R}_+$, on a $\theta (y$ ) = $y\theta (y)$. (Utiliser la formule de Poisson et l’exercice 1.)

d) Pour tout $s$ tel que $\mathscr{R}(s)>1$, on a

e) Il existe une unique fonction holomorphe sur $\mathbf{C}-\{1\}$ dont la restriction à l’ouvert des nombres complexes de partie réelle $>1$ coïncide avec $\zeta$. Cette fonction, encore notée $\zeta$, vérifie $(s-1)\zeta (s)\rightarrow 1$ quand $s\rightarrow 1$ (autrement dit, elle admet un pôle simple de résidu 1 en $s= 1$).

f) La fonction Λ définie par

est holomorphe sur $\mathbf{C}-\{0,1\}$; elle a des pôles simples de résidu 1 en $s= 0$ et $s= 1$. On a $\Lambda (1-s) = \Lambda (s)$ pour tout $s\in \mathbf{C}-\{0,1\}$.

g) Montrer que pour tout $s\in \mathbf{C}$ tel que $\mathscr{R}(s)>1$, on a

où le produit porte sur l’ensemble des nombres premiers et est absolument convergent (« produit eulérien »).

h) Lorsque $\sigma >1$ converge ver 1, on a

$\sum p^{-\sigma}=$ log$(\frac{1}{\sigma- 1})+ O(1)$,

$p$

où la somme porte sur les nombres premiers.

i) Tout $s\in \mathbf{C}-\{1\}$ tel que $\zeta (s) = 0$ est soit de la forme $s=-2k$, où $k\geqslant 1$ est un entier, soit vérifie $0\leqslant \mathscr{R}(s)\leqslant 1$. j) On a $\zeta (s)\not= 0$ si $\mathscr{R}(s) = 1$ et $s\not= 1$. (Montrer à l’aide du produit eulérien que

pour tout $\sigma >1$ et $t\in \mathbf{R}$, puis considérer $t$ tel que $\zeta (1 +it) = 0$.)