Bài tập 16, § 1

Với mọi số phức $s$ sao cho $\mathscr{R}(s)>1$, đặt

$n\geqslant 1$ (“hàm zeta Riemann”).

a) Hàm $\zeta$ là chỉnh hình trên tập con mở của $\mathbf{C}$ tạo bởi các số phức $s$ sao cho $\mathscr{R}(s)>1$.

b) Với $y\in \mathbf{R}_+^*$, đặt

chuỗi này hội tụ tuyệt đối và đều trên các tập con compact của $\mathbf{R}_+^*$. Với mọi $s$ sao cho $\mathscr{R}(s)>1$, ta có

(xem FVR, VII, p. 10 về hàm gamma trong mặt phẳng phức).

c) Với mọi $y\in \mathbf{R}_+$, ta có $\theta (y$ ) = $y\theta (y)$. (Dùng công thức Poisson và bài tập 1.)

d) Với mọi $s$ sao cho $\mathscr{R}(s)>1$, ta có

e) Tồn tại duy nhất một hàm chỉnh hình trên $\mathbf{C}-\{1\}$ mà hạn chế của nó lên tập con mở gồm các số phức có phần thực $>1$ trùng với $\zeta$. Hàm này, vẫn được ký hiệu bởi $\zeta$, thỏa mãn $(s-1)\zeta (s)\rightarrow 1$ khi $s\rightarrow 1$ (nói cách khác, nó có một cực đơn với thặng dư 1 tại $s= 1$).

f) Hàm Λ được xác định bởi

là chỉnh hình trên $\mathbf{C}-\{0,1\}$; nó có các cực đơn với thặng dư 1 tại $s= 0$ và $s= 1$. Ta có $\Lambda (1-s) = \Lambda (s)$ với mọi $s\in \mathbf{C}-\{0,1\}$.

g) Bây giờ chứng minh rằng với mọi $s\in \mathbf{C}$ sao cho $\mathscr{R}(s)>1$, ta có

trong đó tích lấy trên tập hợp các số nguyên tố và hội tụ tuyệt đối (“tích Euler”).

h) Khi $\sigma >1$ tiến đến 1, ta có

$\sum p^{-\sigma}=$ log$(\frac{1}{\sigma- 1})+ O(1)$,

$p$

trong đó tổng lấy trên các số nguyên tố.

i) Mọi $s\in \mathbf{C}-\{1\}$ sao cho $\zeta (s) = 0$ hoặc có dạng $s=-2k$, trong đó $k\geqslant 1$ là một số nguyên, hoặc thỏa mãn $0\leqslant \mathscr{R}(s)\leqslant 1$.

j) Ta có $\zeta (s)\not= 0$ nếu $\mathscr{R}(s) = 1$ và $s\not= 1$. (Chứng minh bằng cách sử dụng tích Euler rằng

với mọi $\sigma >1$ và $t\in \mathbf{R}$, rồi xét $t$ sao cho $\zeta (1 +it) = 0$.)