Exercice 18, § 1

a) Soit $n\in \mathbf{N}$ et soit $f\in \mathscr{S}(\mathbf{R}^n)$. La fonction de $\mathbf{R}\times \mathbf{R}^n$ dans $\mathbf{C}$ définie par

$u(t, x) =\int_{\mathbf{R}^n}\widehat{f}(y)$ exp(2$\pi ix\cdot y-4\pi^2t\|y\|^2$)$dy$

pour $(t, x)\in \mathbf{R}\times \mathbf{R}^n$ vérifie

(1)

(« équation de Schrödinger »)où

b) La fonction $u$ est l’unique solution de (1) telle que $t\mapsto (x\mapsto u(t, x))$ appartienne à $\mathscr{C}^{\infty}(\mathbf{R},\mathscr{S}(\mathbf{R}^n))$.