Exercice 2, § 1

On identifie l’intervalle $[0,1[$ avec $\mathbf{T}=\mathbf{R}/\mathbf{Z}$ par la projection canonique. Soient $0\leqslant a < b <1$. Soit $f$ la fonction continue de $\mathbf{R}/\mathbf{Z}$ dans $\mathbf{R}$ telle que $f(x) = 0$ si $x \notin [a, b],f((a+b)/2) = 1$, et telle que $f$ est affine sur les intervalles $[a,(a+b)/2]$ et $[(a+b)/2, b]$.

Calculer la transformée de Fourier de $f$ et démontrer qu’il existe une constante $C\geqslant 0$ telle que

$|\widehat{f}(n)|\leqslant \inf\left(b-a,\frac{C}{n^2}\right)$

pour tout $n\in \mathbf{Z}-\{0\}$.