Bài tập 2, § 1

Khoảng $[0,1[$ được đồng nhất với $\mathbf{T}=\mathbf{R}/\mathbf{Z}$ bởi phép chiếu chính tắc. Cho $0\leqslant a < b <1$. Cho $f$ là hàm liên tục từ $\mathbf{R}/\mathbf{Z}$ vào $\mathbf{R}$ sao cho $f(x) = 0$ nếu $x \notin [a, b],f((a+b)/2) = 1$, và sao cho $f$ là afin trên các khoảng $[a,(a+b)/2]$ và $[(a+b)/2, b]$.

Tính biến đổi Fourier của $f$ và chứng minh rằng tồn tại một hằng số $C\geqslant 0$ sao cho

$|\widehat{f}(n)|\leqslant \inf\left(b-a,\frac{C}{n^2}\right)$

với mọi $n\in \mathbf{Z}-\{0\}$.