Exercice 20, § 1

Soit $n\geqslant 1$ un entier. On identifie $\mathbf{R}^*_+\times \mathbf{S}_n$, et $\mathbf{R}^{n+1}-\{0\}$ par l’application $(t, z)\mapsto tz$. Soit $\omega$ l’unique mesure sur la sphère $\mathbf{S}_n\subset \mathbf{R}^{n+1}$ invariante par $\mathbf{O}(n+ 1,\mathbf{R})$ telle que la mesure $t^ndt\otimes \mu$ s’identifie à la mesure de Lebesgue sur $\mathbf{R}^{n+1}-\{0\}($cf. INT, VII, p. 116, exercice 8). Notons $\mu$ la mesure sur $\mathbf{R}^{n+1}$ image de la mesure $\omega$ par l’injection de $\mathbf{S}_n$ dans $\mathbf{R}^{n+1}$.

a) On a $\mu(\mathbf{S}_n) = 2\pi^{(n+1)/2}\Gamma (\frac{n+1}{2})^{-1}($cf. INT, V, §8, n$^o7)$.

b) Pour tout nombre réel $k\geqslant 0$, on définit la fonction $J_k:\mathbf{R}_+\rightarrow \mathbf{C}$ par

pour $t\in \mathbf{R}_+$ (« fonction de Bessel de première espèce »). Pour tout $x\in \mathbf{R}^{n+1}$, on a

où $\|x\|$ est la norme euclidienne. c) Si $k\in \mathbf{N}$, on a

$J_k(t) =\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}$ cos($t$ sin($u$)$-ku$)$du$

pour tout $t\in \mathbf{R}_+$.

d) Si $n$ est pair, montrer que $\mathscr{F}(\mu)(x)$ est un polynôme en $\|x\|^{\pm 1/2}$, cos(2$\pi \|x\|$) et sin(2$\pi \|x\|$); pour $n= 2$, on a

$\mathscr{F}(\mu)(x) =$ sin(2$2\pi \pi \|x\|\|x\|$).

e) Soit $g$ une fonction continue à support compact dans $\mathbf{R}_+^*$. Posons $f(x) =$ $g(\|x\|^2)\|x\|^{1-n/2}$ pour tout $x\in \mathbf{R}^n$. Alors on a $\widehat{f}(y) =h(\|y\|^2)\|y\|^{1-n/2}$ pour $y\in \mathbf{R}^n$, où

0

pour tout $s\in \mathbf{R}_+$ (« transformée de Hankel »).